Integration durch Substitution --> Konstante

27.04.2014, 15:08

Robert93

Integration durch Substitution --> Konstante

Meine Frage:
Hallo Leute,
meine Frage bezieht sich auf die Integrationskonstante am Ende der Rechnung!

habe folgendes Integral zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int \! x*\frac{1}{\sqrt{x²+y²+z²}^{3} } \, dx \end{eqnarray*}$

Dies ist doch das gleiche wie:

$\begin{eqnarray*} \int \! x*(x²+y²+z²)^{-\frac{3}{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

Jetzt wollte ich dies mit Hilfe der Substituition integrieren:

1. Frage hier schon: Geht die Integration durch Substitution auch ohne Grenzen?

Ich habe angenommen das dies geht, somit habe ich weitergemacht:

$\begin{eqnarray*} \int \! x*(x²+y²+z²)^{\frac{3}{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w=x²+y²+z²\qquad\qquad\frac{dw}{dx} =2x\qquad\Rightarrow 2x=\frac{dw}{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int\! x*w^{-\frac{3}{2}} \, \frac{dw}{2x}\qquad = \frac{x}{2x} \int \! w^{-\frac{3}{2} } \, dw \qquad = \frac{1}{2} \int \! w^{-\frac{3}{2} } \, dw \end{eqnarray*}$

Das Integriert ergibt doch dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (-2*w^{-\frac{1}{2} } +g(y,z)) \end{eqnarray*}$
wobei g(y,z) meine Integrationskonstante ist.

Nochmal umgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (-2*\frac{1}{\sqrt{w} }+g(y,z)) \end{eqnarray*}$

Dann Rücksubstituiert:

$\begin{eqnarray*} 1/2(-2*\frac{1}{\sqrt{x²+y²+z²} }+g(y,z)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -\frac{1}{\sqrt{x²+y²+z²} }+\frac{g(y,z)}{2} \end{eqnarray*}$

So nun meine Frage:
Hier ist meine Integrationskonstante durch das einrechen von 1/2 eben durch 2 geteilt.
Ist das richtig?
In der lösung steht nur g(y,z) und nicht g(y,z)/2

Meine Ideen:
Leider keine .. sorry..

27.04.2014, 15:16

Mulder

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RE: Integration durch Substitution --> Konstante

Zitat:

Original von Robert93
$\begin{eqnarray*} \int \! x*\frac{1}{\sqrt{x²+y²+z²} } \, dx \end{eqnarray*}$

Dies ist doch das gleich wie:

$\begin{eqnarray*} \int \! x*(x²+y²+z²)^{\frac{3}{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

Es ist nicht wirklich ersichtlich, was genau du jetzt meinst. Oben steht im Nenner einfach nur eine Quadratwurzel, woher dann plötzlich beim Umschreiben die Potenz $\begin{eqnarray*} \tfrac 3 2 \end{eqnarray*}$ kommt, ist rätselhaft. So ist das auf jeden Fall nicht richtig. Aber vielleicht hast du dich auch nur vertippt.

Was deine eigentliche Frage betrifft: Bei der Integrationskonstante $\begin{eqnarray*} g(y,z) \end{eqnarray*}$ ist es völlig egal, ob die nun noch halbiert wird oder sonstwas. Das kann man beides stehenlassen, es ist ja ein zunächst unbestimmter Term, der alles mögliche sein kann. Ob nun durch zwei geteilt oder nicht, die Lösungsmenge bleibt die gleiche. Denn egal, ob nun durch zwei geteilt oder nicht, der Term $\begin{eqnarray*} g(y,z) \end{eqnarray*}$ fällt beim Ableiten nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ so oder so wieder weg und damit ist die Stammfunktion in beiden Fällen korrekt.

27.04.2014, 15:24

Robert93

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RE: Integration durch Substitution --> Konstante
Hups, ja stimmt. Habe mich vertippt.
habe die ^3 vergessen. Hammer

Aber Danke dir für deine Antwort.
Das hilft schon.

Jedoch muss ich mit der Konstanten weiterrechnen. Es handelt sich hierbei um die Berechnung eines Potentials (Kurvenintegral)

Rechne ich nun mit g(y,z) oder g(y,z)/2 weiter?

27.04.2014, 15:51

Mulder

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RE: Integration durch Substitution --> Konstante

Zitat:

Original von Robert93
Rechne ich nun mit g(y,z) oder g(y,z)/2 weiter?

Ich wiederhole: Scheißegal.

Die geteilt durch 2 sind aber unnötig umständlich, insofern würden die meisten das wohl einfach weglassen.

27.04.2014, 17:32

Robert93

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RE: Integration durch Substitution --> Konstante
Mercy Augenzwinkern