Grenzwert berechnen

27.04.2014, 15:39

alcardaalanda

Grenzwert berechnen

Hallo zusammen.

Von folgendem unangenehmen Term möchte ich den Grenzwert berechnen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1}( \frac{d}{dx} \frac{(1-x)^2}{(1-x^a)(1-x^b)} ) \\ = \lim_{x \to 1} \frac{2(x-1)(1-x^a)(1-x^b)-(1-x)^2((a+b)x^{a+b-1}-ax^{a-1}-bx^{b-1})}{((1-x^a)(1-x^b))^2} \end{eqnarray*}$

Ich habe mal wolfram gefragt und als Ergebnis bekommt man $\begin{eqnarray*} -\frac{-2+a+b}{2ab} \end{eqnarray*}$

Dieses ist ja eigentlich sehr schlicht und einfach, deswegen frage ich mich, ob ich irgendeine Möglichkeit übersehen habe, diesen Grenzwert einfach auszurechnen. Als einzige Möglichkeit sehe ich hier L'Hospital, aber das ist zum Scheitern verurteilt, da dort wirklich unendlich lange Terme herauskommen und die Gefahr des Verrechnens sehr groß ist. Gibt es hier vielleicht einen Trick? Über einen Tipp wäre ich sehr dankbar! smile

27.04.2014, 17:57

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{(1-x)^2}{(1-x^a)(1-x^b)} = \frac{1}{u(x) \cdot v(x)} \ \ \text{mit} \ \ u(x) = \frac{x^a-1}{x-1} \, , \ v(x) = \frac{x^b-1}{x-1} \end{eqnarray*}$

Die Grenzwerte

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} u(x) = a \, , \ \lim_{x \to 1} v(x) = b \end{eqnarray*}$

sind klar, denn $\begin{eqnarray*} u(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x) \end{eqnarray*}$ sind Differenzenquotienten der Potenzfunktionen $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^b \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Dann differenzieren:

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{uv} \right)' = - \frac{1}{uv} \cdot \left( \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} \right) \end{eqnarray*}$

Jetzt fehlen nur noch die Grenzwerte von $\begin{eqnarray*} u'(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to 1 \end{eqnarray*}$ . Dann kann man in der letzten Gleichung den Grenzübergang gliedweise durchführen.

$\begin{eqnarray*} u'(x) = \frac{(a-1)x^a - a x^{a-1} + 1}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

Zweimalige Anwendung von l'Hospital führt zum Ziel: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} u'(x) = \frac{1}{2} a \cdot (a-1) \end{eqnarray*}$

Und bei $\begin{eqnarray*} v'(x) \end{eqnarray*}$ geht es ganz entsprechend.

EDIT
Vorzeichen korrigiert.

28.04.2014, 09:42

alcardaalanda

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine tolle Hilfe, Leopold!

Ich hätte nicht gedacht, dass es doch im Verhältnis so einfach ist. Das ist wieder dieses "geschickte Umschreiben", für das mir oft noch ein bisschen der Blick fehlt.

Ganz analog habe ich dann noch
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} v'(x) = \frac{b^2-b}{2} \end{eqnarray*}$
berechnet und erhalte insgesamt in der Tat
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} -\frac{1}{uv}(\frac{u'}{u}+\frac{v'}{v}) = -\frac{\frac{a^2-a}{2} }{a^2b}-\frac{\frac{b^2-b}{2} }{ab^2} = \frac{2-a-b}{2ab} \end{eqnarray*}$ .

Vielen Dank nochmal!

Eine klitzekleine Anschlussfrage hätte ich noch, dann habe ich den Text endlich durchgearbeitet:

Sei $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ gegeben mit $\begin{eqnarray*} \zeta^a =1 \end{eqnarray*}$ .
Nun möchte ich zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \zeta} \frac{x^a-1}{\frac{x}{\zeta} -1}=a \end{eqnarray*}$ .

Dieser Ausdruck sieht ja ein bisschen so aus wie der Differenzenquotient von vorhin. Genauer ist
$\begin{eqnarray*} (\frac{x^a-1}{\frac{x}{\zeta} -1})(\frac{x-\zeta}{(x-1)\zeta})=\frac{x^a-1}{x-1} \end{eqnarray*}$ .

Allerdings ist mir der Grenzwert trotzdem noch nicht 100%ig klar. Ich könnte mir das lediglich so erklären, dass der Ausdruck sich im Grenzbereich genauso verhält wie der Differenzenquotient der Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^a \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ , da beispielsweise im Nenner in beiden Ausdrücken die Konvergenzgeschwindigkeit "linear" ist. Analog hätte ich das für den Zähler begründet, aber das klingt irgendwie halbgar.

Gibt es hier eventuell noch ein besseres Argument, wie ich den Grenzwert begründen kann?

28.04.2014, 10:14

Hackepeter

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von alcardaalanda
Nun möchte ich zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \zeta} \frac{x^a-1}{\frac{x}{\zeta} -1}=a \end{eqnarray*}$ .

Das stimmt aber nur für $\begin{eqnarray*} \zeta=1. \end{eqnarray*}$

Andernfalls existiert der Grenzwert nicht.

28.04.2014, 10:19

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von alcardaalanda
Sei $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ gegeben mit $\begin{eqnarray*} \zeta^a =1 \end{eqnarray*}$ .
Nun möchte ich zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \zeta} \frac{x^a-1}{\frac{x}{\zeta} -1}=a \end{eqnarray*}$ .

Hmm, wir scheinen uns hier im Komplexen zu bewegen, zumindest bei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ . Was ist über $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bekannt? Ganzzahlig, nur reell, oder gar auch komplex? verwirrt

28.04.2014, 10:25

alcardaalanda

Auf diesen Beitrag antworten »

@Hackepeter: Also das sollte schon stimmen, ich habe es zumindest anhand vieler Beispiele überprüft. (z.B. $\begin{eqnarray*} a=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in \left\{ 1,-1,i,-i\right\} \end{eqnarray*}$ )

@Hal: Ups, da habe ich leider ein paar Info's unterschlagen. Ich betrachte hier nur natürliche Exponenten, was die Sache bestimmt einfacher macht, $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ ist hier dann eine $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ -te Einheitswurzel

28.04.2014, 10:32

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Das macht die Sache entschieden einfacher, denn dann kannst du substituieren $\begin{eqnarray*} x=\zeta t \end{eqnarray*}$ , was dann zu $\begin{eqnarray*} x^a = (\zeta t)^a \stackrel{!}{=}\zeta^a t^a=t^a \end{eqnarray*}$ (hier benötigt man die Ganzzahligkeit) führt, es ist somit

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \zeta} \frac{x^a-1}{\frac{x}{\zeta} -1} = \lim_{t \to 1} \frac{t^a-1}{t-1} = a \end{eqnarray*}$ .

28.04.2014, 10:37

alcardaalanda

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, Wow! Vielen Dank! Das ist ja noch viel einfacher, als ich geglaubt habe.
Mein Problem ist häufig, dass ich mich zu schnell in zu komplizierte Sachen verrenne und mich daran aufhänge.

Und leider fehlt mir dann oftmals der Blick für geschicktes Umschreiben oder wie hier eine solche Substitution. Ich hoffe, dass ich das mit der Zeit und Übung diesen Blick noch "lerne".^^

Danke nochmal für eure tolle Hilfe! smile

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert berechnen

Verwandte Themen