Faltung einer Funktion mit sich selbst

27.04.2014, 17:48

Solomon123

Faltung einer Funktion mit sich selbst

Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Gegeben eine Funktion f(x) = 1 für $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ sonst 0.
Also ein einfaches Quadrat mit Seitenlänge 1.
Ich soll nun die Faltung der Funktion mit sich selbst bilden.
Das Vorgehen ist mir vollkommen klar. Ich verstehe wie es funktioniert und das in diesem Fall t zwischen 0 und 2 sein wird und dass die Funktion eine Dreiecksfunktion wird. Mein einziges Problem ist die Integralbildung. Ich habe also wirklich nur ein "Zahlenproblem".

Wenn ich jetzt den Fall $\begin{eqnarray*} 0\le t \le 1 \end{eqnarray*}$ betrachte. Erhalte ich dann $\begin{eqnarray*} \int_0^1 f(x)f(t-x) dx = \int_0^1 f(t-x)dx = \int_0^t f(t-x) dx = [x]_0^t = t? \end{eqnarray*}$
Ist die Rechnung so richtig? Ich verstehe nicht genau wie ich die Integralgrenzen ändere. Falls die Rechnung so richtig ist, habe ich noch das Problem im Intervall $\begin{eqnarray*} 1 \le t \le 2 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich mir das so vorstelle müsste ja -t rauskommen. Da komme ich aber leider nicht hin :/

Es wäre wirklich sehr lieb wenn mir jemand helfen könnte.

27.04.2014, 18:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von Solomon123
Ich verstehe nicht genau wie ich die Integralgrenzen ändere.

Für $\begin{eqnarray*} t < x\leq 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} t-x < 0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} f(t-x)=0 \end{eqnarray*}$ , also muss man diesen Teil des Integrationsintervalls weglassen, wenn man zwecks Auswertung anschließend einfach $\begin{eqnarray*} f(t-x)=1 \end{eqnarray*}$ im Integranden einsetzen will:

Zitat:

Original von Solomon123
habe ich noch das Problem im Intervall $\begin{eqnarray*} 1 \le t \le 2 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich mir das so vorstelle müsste ja -t rauskommen.

Kann ich nicht nachvollziehen, wie du darauf kommen willst. verwirrt

27.04.2014, 18:08

Solomon123

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Tut mir leid, -t ist wirklich blöd, dass ist mir gerade auch selbst aufgefallen.
Leider verstehe ich immernoch nicht, wie ich es hinschreiben soll :/

27.04.2014, 18:37

HAL 9000

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Betrachten wir den Fall $\begin{eqnarray*} 1 < t\leq 2 \end{eqnarray*}$ : Hier muss man nun am unteren statt am oberen Ende des Integrationsintervalls [0,1] etwas "wegschneiden":

Für $\begin{eqnarray*} 0\leq x < t-1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} t-x>1 \end{eqnarray*}$ , d.h. für diese $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls $\begin{eqnarray*} f(t-x)=0 \end{eqnarray*}$ , so dass man hier rechnen muss

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 f(t-x) ~ \dd x = \int\limits_{t-1}^1 1 ~ \dd x = 2-t \end{eqnarray*}$ .

27.04.2014, 23:59

Solomon123

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Hallo,
vielen Dank das Du dir die Zeit genommen hast smile

Ich habe es nun verstanden smile

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