Laplace Experiment

27.04.2014, 20:18

chrstin xOxO

Laplace Experiment

Aufgabe

Da Peter Pan den Piraten Captain Hook immer gerne ärgert und von seiner Panik vor tickenden bzw. klingelnden
Uhren weiß, versteckt er 100 Wecker auf Hooks Schiff. Peter Pan und die verlorenen Jungs stellen das Klingeln der Wecker zufällig ein. Dabei lassen sich die Wecker nur auf ganze Minuten einstellen.

a) Geben Sie für die Situation ein geeignetes Laplace- Experiment $\begin{eqnarray*} \left(\Omega,p\right) \end{eqnarray*}$ an.

Lösung:

Ich muss zugeben, dass ich mir mit solchen Mengen angaben ein wenig schwer tue.

Also ich muss nun ja jedem $\begin{eqnarray*} \omega\in \Omega \end{eqnarray*}$ eine gewissen Zeit:

$\begin{eqnarray*} t:=(x,y) \end{eqnarray*}$ zuordnen.

$\begin{eqnarray*} x:=\text{Anzahl der Stunden} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y:=\text{Anzahl der Minunten} \end{eqnarray*}$

Deswegen dachte ich mir, dass ich die Menge vll. folgendermaßen definiere:

$\begin{eqnarray*} \Omega= \left\{(\omega_1,...,\omega_{100})\in (\left\{0,...,23\right\}\times \left\{0,..,59\right\})^{100} \right\} \end{eqnarray*}$

Hierbei ständen dann $\begin{eqnarray*} \omega_1,...,\omega_{100} \end{eqnarray*}$

für die Wecker, und das Kreuzprodukt für die Zeit.

Das sieht aber mitunter erstmal unschön aus, außerdem weiss ich nicht ob ich das mit dem Kreuzprodukt so überhaupt definieren darf.

mfg. chrstin xOxO

27.04.2014, 20:43

Leopold

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Du kannst das so machen. Nur die Notation hinten stimmt nicht. So muß es richtig lauten:

$\begin{eqnarray*} \Omega = \left( \left\{ 0, \ldots, 23 \right\} \times \left\{ 0, \ldots, 59 \right\} \right)^{100} \end{eqnarray*}$

Nur machst du es dir unnötig schwer. Warum nummerierst du die Minuten des Tages nicht einfach durch, von 0 bis 1439? Du multiplizierst das Kreuzprodukt sozusagen aus.
Im übrigen bin ich mir nicht sicher, wie die Aufgabe gemeint ist. Möglicherweise sind das Wecker, die nur die Minuten von 0 bis 60 anzeigen, sonst nichts.

27.04.2014, 20:53

chrstin xOxO

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@Leopold

Okay vielen dank smile

Ich bin mir nur nicht ganz so sicher was du mit

Zitat:

die Notation hinten stimmt nicht

genau meinst.

Meinst du das rot makierte?

$\begin{eqnarray*} \Omega= \left\{\color{red}(\omega_1,...,\omega_{100})\color{black}\in (\left\{0,...,23\right\}\times \left\{0,..,59\right\})^{100} \right\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Im übrigen bin ich mir nicht sicher, wie die Aufgabe gemeint ist. Möglicherweise sind das Wecker, die nur die Minuten von 0 bis 60 anzeigen, sonst nichts.

War ich mir am Anfang auch nicht, aber Aufgabenteil b) lautet wie folgt:

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwanzig Wecker zwischen 0:00 Uhr und 2:59 Uhr
klingeln.

mfg. chrstin xOxO

27.04.2014, 21:25

Leopold

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Zitat:

Original von chrstin xOxO
Meinst du das rot makierte?

$\begin{eqnarray*} \Omega= \left\{\color{red}(\omega_1,...,\omega_{100})\color{black}\in (\left\{0,...,23\right\}\times \left\{0,..,59\right\})^{100} \right\} \end{eqnarray*}$

Ja, das meine ich. Die Schreibweise mit den Mengenelementen verwendet man nur, wenn Elemente durch Zusatzbedingungen ausgesondert werden:

$\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{ \ \omega \in \ldots \ \left| \ \text{Eigenschaften der} \ \omega \right. \right\} \end{eqnarray*}$

01.05.2014, 08:46

Gast11

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Hallo, ich beschäftige mich auch mit dieser Aufgabe und sch

eitere am Teil b, also

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwanzig Wecker zwischen 0:00 Uhr und 2:59 Uhr klingeln.

Ich habe mein Omega auch von 0 bis 1439 hoch 100 geschrieben.
Von 0:00 Uhr bis 2:59 Uhr habe ich ja dann
$\begin{eqnarray*} E={0,...,178}^{19} \end{eqnarray*}$
Die 19 kommen zustande, da ich vom Gegenereignis ausgehe, also dass höchstens 19 Wecker klingeln.
Ist das so richtig?

Muss ich dann für die Wahrscheinlichkeit berechnen:
$\begin{eqnarray*} 1-((179^{19})/(1439^{100})) \end{eqnarray*}$

Gruß

01.05.2014, 11:23

HAL 9000

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Nein, so geht's überhaupt nicht:

Hast du dich einmal auf einen Grundraum festgelegt, der aus 100-Tupeln besteht, kannst du nicht plötzlich bei Ereignissen aus diesem Grundraum auf 19-Tupel umschwenken.

Nein, das zu b) passende Ereignis umfasst die Menge aller 100-Tupel, welche mindestens 20 Komponenten im Bereich $\begin{eqnarray*} \{0,1,\ldots,179\} \end{eqnarray*}$ enthalten. Oder man betrachtet (wie von dir beabsichtigt) das Gegenereignis, was ebenfalls eine Menge von 100-Tupeln ist, diesmal jene mit maximal 19 Komponenten im Bereich $\begin{eqnarray*} \{0,1,\ldots,179\} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Übrigens, wenn es sich um altmodische mechanische Wecker handeln sollte - was angesichts der blumigen Story durchaus sein könnte - bei denen wird eine eingestellte Weckzeit zweimal am Tag wirksam (z.B. 6:37 und 18:37) ! Oder anders formuliert: Der Grundraum besteht dann nur aus einem halben Tag mit 720 statt 1440 Minuten. smile

Da haben wir sie wieder, die Crux mit ungenau formulierten Problemstellungen.

01.05.2014, 12:30

Gast11

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Hallo, danke für deine Antwort.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich dich richtig verstanden habe.
Aber ich versuchs mal:
Mein Omega sieht wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} {0,...,1439}^{100} \end{eqnarray*}$
Mächtigkeit von Omega: $\begin{eqnarray*} {1439}^{100} \end{eqnarray*}$
Mein Ereignis sieht dann so aus:
E={w \in Omega:für alle i,j \in {20,...,100} mit i ungleich j, w_{i},w_{j} \in {0,...,178}}
Stimmt das?
Wie berechne ich denn jetzt die Mächtigkeit von dem Ereignis?

Gruß

01.05.2014, 12:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gast11
E={w \in Omega:für alle i,j \in {20,...,100} mit i ungleich j, w_{i},w_{j} \in {0,...,178}}

Passt immer noch nicht, leider nicht mal entfernt. Vor allem musst du dich von dem Gedanken verabschieden, dass diese (maximal) 19 Werte im Bereich $\begin{eqnarray*} \{0,1,\ldots,179\} \end{eqnarray*}$ gleich hintereinander am Anfang oder am Ende des 100-Tupels stehen - nein: Sie können irgendwo in diesem 100-Tupel stehen!!!

Am besten betrachtet man

$\begin{eqnarray*} E_n = \left\{ \omega=(\omega_1,\ldots,\omega_{100}) \in\Omega \bigm| \mbox{es gibt genau $n$ Indizes $i$ mit}\; \omega_i\in \{0,1,\ldots,179\} \right\} \end{eqnarray*}$

Dein Ereignis ist dann

$\begin{eqnarray*} E = \bigcup\limits_{n=20}^{100} E_n = \Omega \setminus \left( \bigcup\limits_{n=0}^{19} E_n \right) \end{eqnarray*}$ .

Aus einfachen kombinatorischen Überlegungen gewinnt man die Anzahl $\begin{eqnarray*} |E_n| = \binom{100}{n} 180^n (1440-180)^{100-n} \end{eqnarray*}$ . Letzten Endes läuft das auf Wahrscheinlichkeitsebene auf die Binomialverteilung hinaus.

01.05.2014, 13:04

Gast11

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Hallo,
danke nochmal.
Ich verstehe deine Überlegungen, aber müsste in der Binomialverteilung nicht 179 stehen, anstatt 180. weil wir 0.00 bis 2.59 Uhr betrachten.

Gruß

01.05.2014, 13:26

HAL 9000

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Inklusive beider Endwerte 0:00 und 2:59 sind das 180 Zeitpunkte, nicht 179.

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