Lebesgueintegral nimmt Wert unendlich an auf Lebesguenullmenge, ändert das den Wert?

27.04.2014, 21:28

Duude

Lebesgueintegral nimmt Wert unendlich an auf Lebesguenullmenge, ändert das den Wert?

Hallo zusammen,

wir haben folgendes Lemma:
Sei $\begin{eqnarray*} (X, \quad A, \quad \mu) \end{eqnarray*}$ ein Maßraum und $\begin{eqnarray*} f,g:X\rightarrow[-\infty, \infty] \end{eqnarray*}$ zwei $\begin{eqnarray*} \mu- \end{eqnarray*}$ integrierbare Funktionen. Dann gilt die folgende Eigenschaft

Für $\begin{eqnarray*} f\geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \int f \quad d\mu=0 \Leftrightarrow \mu(\{f\neq 0\})=0 \end{eqnarray*}$

Mir ist klar, dass ich Werte auf einer Lebesguenullmenge beliebig ändern kann, ohne dass sich das Integral ändert. Ich dachte aber, dass beliebig heißt, beliebig änderbar im Bereich der reellen Zahlen ohne unendlich. Deshalb verwundert mich hier die das geschlossene Intervall in der ersten Zeile, das -unendlich und unendlich einschließt.

Ich bin der Meinung ich bräuchte hier ein offenes Intervall oder aber ich müsste $\begin{eqnarray*} 0 \cdot \infty=0 \end{eqnarray*}$ definieren, um hier keine Probleme zu bekommen. Denn das ist im Normalfall ja nicht eindeutig...

Was meint ihr?

lg Duude

28.04.2014, 06:37

Che Netzer

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RE: Lebesgueintegral nimmt Wert unendlich an auf Lebesguenullmenge, ändert das den Wert?

Zitat:

Original von Duude
ich müsste $\begin{eqnarray*} 0 \cdot \infty=0 \end{eqnarray*}$ definieren

So ist die Konvention in der Maßtheorie.

28.04.2014, 09:51

Duude

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alles klar. Das erklärt die Sache. Danke dir smile