Begrenztes Wachstum/Änderungsrate

28.04.2014, 00:09	schueler97	Auf diesen Beitrag antworten »
Begrenztes Wachstum/Änderungsrate Hallo an alle, Eine Fichte ist zu Beginn 1m groß. Sie kann höchstens 80m hoch werden. Sie wächst jährlich um 5% der Differenz zwischen aktueller Höhe und Grenzgröße. Meine Überlegung: Ich habe mir die Formel k × (S-B(t)) ergoogelt, mit welcher sich die Änderungsrate berechnen lässt. S ist Sättigungsgrenze. Ich weiß jedoch nicht, wie ich die Werte nun einsetzen soll um die Änderungsrate rauszubekommen. Danke für die Hilfe.
28.04.2014, 13:35	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Begrenztes Wachstum/Änderungsrate Die Funktion, die die Höhe zur Zeit t (in Jahren) angibt, sollte grundsätzlich von der Gestalt $\begin{eqnarray} h(t)=80-a\cdot e^{-kt} \end{eqnarray}$ sein. Da die Anfangshöhe 1 ist, ist insbesondere $\begin{eqnarray} h(0)=80-a=1 \Rightarrow a=79 \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} h(t)=80-79\cdot e^{-kt} \end{eqnarray}$ Die Beschreibung "wächst jährlich um 5% der Differenz zwischen aktueller Höhe und Grenzgröße", veranlaßt mich zu der Annahme, dass folgende Beziehung gelten soll: $\begin{eqnarray} h(t+1)=h(t)+0,05\left[80-h(t)\right] \end{eqnarray}$ mit h(t) wie oben. Hierbei habe ich allerdings nicht Google bemüht. Jedenfalls käme man nach etwas Umformen zu $\begin{eqnarray} h(t+1)=80-75,05\cdot e^{-kt} \end{eqnarray}$ Gleichzeitig muß aber natürlich weiterhin auch gelten: $\begin{eqnarray} h(t+1)=80-79\cdot e^{-k(t+1)} \end{eqnarray}$ Mit diesen 2 Gleichungen kannst Du nun k berechnen. Ich hoffe, so wars dann gemeint.
28.04.2014, 16:57	schueler97	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Begrenztes Wachstum/Änderungsrate Hallo Klaus, Viel klarer nun. Danke :thumb

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