Ungleichung mit Logarithmus

28.04.2014, 09:17

Knochenkotzer

Ungleichung mit Logarithmus

Meine Frage:
Guten Tag,

Ich möchte folgende Ungleichung beweisen und benötige Hilfe:

$\begin{eqnarray*} ln((1-t)x + tx) \geq (1-t)ln(x) + tln(y) \end{eqnarray*}$ mit x,y>0 und t aus dem Intervall [0,1]

Meine Ideen:
Nun ich versuchte es auf verschiedene Weise umzuformen, aber drehe mich im Kreis. Mir fehlt sicherlich der entscheidende Trick.

Hat jemand einen Tipp?

28.04.2014, 09:25

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: ungleichung mit logarithmus
Nutze, daß der Logarithmus konkav ist. Alles weitere siehe hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Konkave_Funktion#Definition
smile

EDIT: vermutlich meinst du: $\begin{eqnarray*} ln((1-t)x + ty) \geq (1-t)ln(x) + tln(y) \end{eqnarray*}$

28.04.2014, 09:52

Knochenkotzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah hab mich vertippt, die meine ich.^^

Nun leuchtet mir ein, warum die ungleichung stimmen muss. Also muss ich beweisen, dass der ln konkav ist und kann die Definition benutzen?

Wie beweise ich sowas? Spontan überlege ich den ln(x) einfach 2 mal abzuleiten, da man sieht, dass er auf dem gesammten Definitionsbereich eine Rechtskrümmung hat, muss er konkav sein. Darf man so argumentieren?

28.04.2014, 10:01

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Knochenkotzer
Spontan überlege ich den ln(x) einfach 2 mal abzuleiten, da man sieht, dass er auf dem gesammten Definitionsbereich eine Rechtskrümmung hat, muss er konkav sein.

Das klingt irgendwie doppelt gemoppelt: entweder sagst du, daß man die Rechtskrümmung sieht, oder du nimmst als Nachweis die 2. Ableitung, wobei ich letzteres bevorzugen würde.

28.04.2014, 10:10

Knochenkotzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte eigentlich durch die 2 Ableitung zu zeigen, dass der ln eine Rechtskrümmung hat.

Frage mich nur ob es genug ist als Beweis. muss die die Ungleichung aus der Definition für konvake Funktionen nicht beweisen?

28.04.2014, 10:27

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Tatsächlich ist deine zu beweisende Ungleichung ja die Definition einer konkaven Funktion. Die Bedingung $\begin{eqnarray*} f''(x)\leq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ ist nur eine hinreichende Bedingung für die Konkavität im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ .

28.04.2014, 10:35

Knochenkotzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es eine hinreichende Bedingung ist, folgt aus der Rechtskrümmung die Konkavität?

Also soll ich doch die Definition für konkave Funktionen beweisen?

28.04.2014, 10:48

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du sollst zeigen, daß die Definition für konkave Funktionen erfüllt wird. Du mußt also zeigen, daß die Funktion konkav ist, was du wiederum mittels der 2. Ableitung machst.

28.04.2014, 10:53

Knochenkotzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal zusammenfassend.

Ich leite den natürlichen logarithmus 2 mal ab:

f''(x)= -1/x^2 > 0 für alle x aus dem Definitionsbereich. -> f(x) ist konkav. Also gilt die Definition und damit die Ungleichung beweisen? verwirrt