Integrieren von speziellen Funktionen

13.08.2004, 14:49

psychotoni

Integrieren von speziellen Funktionen

Hier die Aufgaben:

http://mitglied.lycos.de/tonimania/integralrechnung funktion integrieren.jpg

Die ersten beiden Teilaufgaben, a und b bekomme ich heraus, aber bei den letzten beiden stimmt mein Ergebnis nicht mit der Musterlösung überein. Ich weiß aber nicht, wo mein Fehler liegt. Kann mir jemand helfen?

Ergebnisse:

a) 101/9
b) 0,081
c) 2
d) 1

Falls jemand nun die ersten beiden Teilaufgaben nicht lösen kann, veröffentliche ich hier gerne auch meine Lösungen! Lösungen?

13.08.2004, 15:00

therisen

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Hi psychotoni,
ich tippe mal stark darauf, dass du keine exakte Lösung angegeben hast, also für PI einfach 3,14 eingesetzt hast oder?

c) Die Stammfunktion lautet: $\begin{eqnarray*} F(x) = -\cos(x) \end{eqnarray*}$
Nach Einsetzen der Werte erhalte ich: $\begin{eqnarray*} -\cos \left( \pi \right) +1=2 \end{eqnarray*}$
d) Die Stammfunktion lautet: $\begin{eqnarray*} F(x) = -1/2\,\cos \left( 2\,x \right) \end{eqnarray*}$
Nach Einsetzen der Werte erhalte ich: $\begin{eqnarray*} -1/2\,\cos \left( \pi \right) +1/2=1 \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

13.08.2004, 16:05

Mathespezialschüler

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Hi,
mMn sind deine Lösungen richtig! zu d) gibts übrigens auch noch die Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(x) = \sin^2(x) \end{eqnarray*}$

13.08.2004, 17:09

psychotoni

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Erstmal Danke. smile

Ich habe mit dem PI aus dem Taschenrechner gerechnet (also: 3,41592654) und ich habe auch das gleiche heraus, wie du. Aber wenn man die Fläche jetzt ausrechnet bekommt man doch für...

c) 1,503 * 10^(-3) ... also ca. 0 ... und für ...
d) 7,5 * 10^(-4) ... also ebenfalls ca. 0

heraus.

Oder bin ich jetzt besoffen? Prost

13.08.2004, 20:14

Mathespezialschüler

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Also, die Stammfunktionen hat therisen ja schon bestimmt. Hast du Probleme beim Berechnen?? Weißt du, wie mans berechnet?? Also bei c) zum Bleistift:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi}~\sin(x)~dx = [-\cos(x)]_0^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = 1 + 1 = 2 \end{eqnarray*}$

Versuchs mal bei d)!!!

13.08.2004, 21:31

therisen

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
d) gibts übrigens auch noch die Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(x) = \sin^2(x) \end{eqnarray*}$

Hier sind die Funktionen $\begin{eqnarray*} sin(x)^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{cos(2x)}{2} \end{eqnarray*}$ geplottet:

http://home.arcor.de/therisen/stammfunktion.jpg

EDIT: Bin bisschen durcheinander geraten, wie Leopold gesagt hat, die Funktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante :P

Gruß, therisen

13.08.2004, 22:27

Leopold

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@ therisen

Und was willst du mit diesen Zeichnungen beweisen?
Ich sehe nur, daß sich die Funktionen um einen konstanten Summanden unterscheiden, also haben beide dieselbe Ableitung f und sind damit Stammfunktionen von f.
In der Tat hat MSS recht:
$\begin{eqnarray*} F_1(x)=-\frac{1}{2}\cos{2x} \ , \ \ F_2(x)=\sin^2{x} \ , \ \ F_3(x)=-\cos^2{x} \end{eqnarray*}$
sind alles Stammfunktionen von
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sin{2x} \end{eqnarray*}$

... und davon gibt es noch weitere Milliarden ... (mindestens!)

13.08.2004, 22:36

therisen

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Sorry ich nehm alles zurück MSS Prost

Ich steh heut ein wenig neben der Kappe, hab ich heut Abend bei der Arbeit schon feststellen müssen :rolleyes:

14.08.2004, 10:17

Mathespezialschüler

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@therisen
Is schon ok, man kanns übrigens sogar durch umformen begründen:

$\begin{eqnarray*} \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 1 - 2\sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 \end{eqnarray*}$

und mit dem $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ werden daraus die gezeigten Stammfunktionen Augenzwinkern

14.08.2004, 10:29

psychotoni

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Ich weiß nun, was mein Problem ist! *g*
.... ich glaube, ich habe einen ziemlich dummen Fehler gemacht! X(

Kann es sein, dass der Taschenrechner auf "RAD" (Radiant Modus) eingestellt sein muss? :P

Wenn es so ist, bekomme ich nun auch das richtige heraus.

Danke für die Hilfe. Gott

14.08.2004, 10:39

Mathespezialschüler

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RE: Ich weiß nun, was mein Problem ist! *g*

Zitat:

Original von psychotoni

Kann es sein, dass der Taschenrechner auf "RAD" (Radiant Modus) eingestellt sein muss? :P

Ja, natürlich! smile

Aber dafür bauchst du doch gar keinen Taschenrechner!! Du weißt doch, was $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist (entspricht 180°) und jetzu stellst du dir einfach den Einheitskreis vor. Wie groß is der Cosinus bei 180°?? Natürlich -1. Also nich immer schon automatisch zum Taschenrechner greifen Augenzwinkern

edit: Übrigens wird in der Analysis (sogut wie) niemals mit dem Gradmaß, sondern (fast) immer mit dem Bogenmaß gerechnet!!!

14.08.2004, 15:55

psychotoni

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Nun habe ich noch zwei Hammeraufgaben für euch!
Ich habe noch zwei hammermäßige Aufgaben, die ich nicht zu lösen weiß! Teufel

Ich hoffe, ihr wisst, was gemeint ist mit Mittelwertsatz. Hier sind sie:

http://mitglied.lycos.de/tonimania/integration_zwischenwertsatz.jpg

... wenn es geht, bitte in kleinen Schritten beantworten! Sonst raff ich das bestimmt nicht. verwirrt

14.08.2004, 16:53

Mathespezialschüler

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Also, du hast a und b gegeben, außerdem noch f(x). Das kannst du doch erstmal in den Mittelwertsatz einsetzen. Bei a) z.B.:

$\begin{eqnarray*} \int_1^4~(x-2)^2~dx = f(\xi)\cdot (4-1) \end{eqnarray*}$

Jetzt das Integral lösen:

$\begin{eqnarray*} \int_1^4~(x-2)^2~dx = [\frac{1}{3}(x-2)^3]_1^4 = \frac{1}{3}(4-2)^3 - \frac{1}{3}(1-2)^3 = 3 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} 3 = f(\xi)\cdot 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\xi) = (\xi-2)^2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \xi_1 = 1\ \ \ \ \ \ \xi_2 = 3 \end{eqnarray*}$

Klar?? So machst dus bei allen anderen auch! Augenzwinkern

Aufgabe 10 is billig, wenn dus nich direkt siehst, helfen dir vielleicht folgende (Substitutions-)Tipps:

a) $\begin{eqnarray*} -ax = u \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} 1+x^2 = z \end{eqnarray*}$
c) müsste mit partieller Integration funktionieren

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