Konvergiert diese Funktionsreihe in den komplexen Zahlen? Denkfehler?

28.04.2014, 11:30

Baloo

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Konvergiert diese Funktionsreihe in den komplexen Zahlen? Denkfehler?

Meine Frage:
Grüße!

Folgende Reihe ist gegeben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n>=0} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}, z \in C \end{eqnarray*}$ (komplexe Zahlen. Hab kein Symbol dafür gefunden!)

Man soll zeigen, dass die Reihe im angegebenen Bereich konvergiert.

Meine Ideen:
Meine Überlegung war, die Reihe in die "Potenzreihenform" umzuformen und dann den Konvergenzradius auszurechnen. Leider ist mein Vorgehen irgendwie fehlerhaft, oder zumindest stehe ich auf dem Schlauch.

Aber seht doch bitte selbst:

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{n>=0} \frac{1}{(2n+1)!} (z-0)^{2n+1}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> R = \frac{1}{\lim sup_{n \to \infty } \sqrt[2n+1]{\frac{1}{(2n+1)!} } } <br /> \end{eqnarray*}$

Ich soll also den größten Häufungspunkt von:

$\begin{eqnarray*} <br /> (\frac{1}{(2n+1)!})^\frac{1}{2n+1})<br /> \end{eqnarray*}$

berechnen.

Nur, irgendwie steh ich da an. Diese Folge konvergiert offensichtlich gegen 0 und zwar irrsinnig schnell und dann hätte ich R = 1/0 und somit kein valides Ergebnis.

Irgendwo harkt es da gröber, bitte untertänigst um Erleuchtung!

Liebe Grüße
Baloo

28.04.2014, 11:34

Baloo

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RE: Konvergiert diese Funktionsreihe in den komplexen Zahlen? Denkfehler?
Ui, da hab ich mich aber schlecht ausgedrückt, deshalb anders:

Der Limes Superior ist ja der größte Häufungspunkt einer Folge. Wenn eine Folge konvergiert, so gilt Limes Inferior = Limes Superior = Grenzwert

Und genau das ist, glaube ich, hier der Fall. Wäre das Supremum gefragt, dann wäre das einfach 1 und die Sache hätte sich erledigt, der Radius wäre 1.

Ich muss dazu sagen, ich versteh nicht ganz, wie ein solches Beispiel mit den komplexen Zahlen überhaupt läuft. Ich verstehe nicht, wie ich da auf Real und Imaginärteil kommen würde.

Schon klar, dass gilt:

1 ist eine natürliche Zahl, ist eine ganze Zahl, ist eine reelle Zahl, ist eine komplexe Zahl und man somit nicht unbedingt Real und Imaginärteil bräuchte. Trotzdem ist mir das Beispiel irrsinnig suspekt :/

28.04.2014, 11:49

bijektion

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Zitat:

und dann hätte ich R = 1/0

Das ist doch gut. Dann ist der Konvergenzradius doch $\begin{eqnarray*} R=\infty \end{eqnarray*}$ .

Du solltest aber der Form wegen evtl. $\begin{eqnarray*} a_n= \begin{cases}<br /> 0 & n \equiv 0 \mod 2 \\<br /> \frac{1}{n!} & n \equiv 1 \mod 2 \\<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$ setzen und die Reihe schreiben als $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \cdot x^n \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{R}= \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Ich muss dazu sagen, ich versteh nicht ganz, wie ein solches Beispiel mit den komplexen Zahlen überhaupt läuft. Ich verstehe nicht, wie ich da auf Real und Imaginärteil kommen würde.

Da ist doch kein Unterschied. Die Reihe konvergiert, falls $\begin{eqnarray*} |x|<R \end{eqnarray*}$ ist, und für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ gilt das genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in einem Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ um den Entwicklungspunkt liegt.

28.04.2014, 11:59

klarsoweit

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RE: Konvergiert diese Funktionsreihe in den komplexen Zahlen? Denkfehler?

Zitat:

Original von Baloo
$\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{\lim sup_{n \to \infty } \sqrt[2n+1]{\frac{1}{(2n+1)!} } } \end{eqnarray*}$

Diese Formel gilt natürlich nur für Reihen der Form $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot (z - z_0)^n \end{eqnarray*}$ .

Für deine Reihe müßte man noch etwas umformen: ein z herausziehen und dann z² = y setzen.

Was den Konvergenzradius angeht, würde ich eher die Formel $\begin{eqnarray*} R = \lim_{n \to \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}| \end{eqnarray*}$ bevorzugen. smile

smile

EDIT: zu spät, hab etwas lang gebraucht. Ich halt mich dann wieder raus.

28.04.2014, 12:03

Baloo

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RE: Konvergiert diese Funktionsreihe in den komplexen Zahlen? Denkfehler?

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Baloo
$\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{\lim sup_{n \to \infty } \sqrt[2n+1]{\frac{1}{(2n+1)!} } } \end{eqnarray*}$

Diese Formel gilt natürlich nur für Reihen der Form $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot (z - z_0)^n \end{eqnarray*}$ .

Für deine Reihe müßte man noch etwas umformen: ein z herausziehen und dann z² = y setzen.

Was den Konvergenzradius angeht, würde ich eher die Formel $\begin{eqnarray*} R = \lim_{n \to \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}}| \end{eqnarray*}$ bevorzugen. smile

smile

EDIT: zu spät, hab etwas lang gebraucht. Ich halt mich dann wieder raus.

Vielen lieben Dank ihr beiden! Ich war mir nicht sicher ob das Quotientenkriterium wirklich auch für komplexe Zahlen angewandt werden kann.

Wobei, das ist nicht das Quotientenkriterium. Dieses finde ich zwar auf Wikipedia, in meinem schlauen Büchlein aber nicht.

28.04.2014, 12:06

Baloo

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Zitat:

Original von bijektion

Zitat:

und dann hätte ich R = 1/0

Das ist doch gut. Dann ist der Konvergenzradius doch $\begin{eqnarray*} R=\infty \end{eqnarray*}$ .

Du solltest aber der Form wegen evtl. $\begin{eqnarray*} a_n= \begin{cases}<br /> 0 & n \equiv 0 \mod 2 \\<br /> \frac{1}{n!} & n \equiv 1 \mod 2 \\<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$ setzen und die Reihe schreiben als $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \cdot x^n \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{R}= \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Ich muss dazu sagen, ich versteh nicht ganz, wie ein solches Beispiel mit den komplexen Zahlen überhaupt läuft. Ich verstehe nicht, wie ich da auf Real und Imaginärteil kommen würde.

Da ist doch kein Unterschied. Die Reihe konvergiert, falls $\begin{eqnarray*} |x|<R \end{eqnarray*}$ ist, und für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ gilt das genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in einem Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ um den Entwicklungspunkt liegt.

Uhm, mir war nicht klar, dass R dann unendlich wäre. Mein Buch sagt dazu, dass R eine Zahl sei und 1/0 wäre ja nicht definiert. Wenn es natürlich wiederum auf die Unendlichkeit hin zu betrachten ist, dann wäre das toll.

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28.04.2014, 12:06

bijektion

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Zitat:

Wobei, das ist nicht das Quotientenkriterium.

Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{R}=\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Vielen lieben Dank ihr beiden! Ich war mir nicht sicher ob das Quotientenkriterium wirklich auch für komplexe Zahlen angewandt werden kann.

Das geht natürlich.

Ist schon alles klar?

28.04.2014, 12:50

Baloo

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Die Theorie ist mir soweit klar, ja.

Leider scheiterts gerade etwas beim richtigen rausziehen vom z bzw. umformen der Originalformel (Ja, meine praktischen mathematischen Probleme beruhen immer auf irgendwelchen Trivialitäten -.-)

28.04.2014, 12:58

bijektion

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Zitat:

beim richtigen rausziehen vom z

Das heißt?

28.04.2014, 13:06

Baloo

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Wenn ich z² = y setze...

$\begin{eqnarray*} z^{2n+1} = z * z^{2n} = \sqrt{y} * y^{n} \end{eqnarray*}$

Insgesamt also:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n>=0} \frac{\sqrt{y} * y^{n} }{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

Das in die richtige Form gebracht:

... nein, das ist schon falsch -.-

28.04.2014, 13:14

bijektion

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Aber $\begin{eqnarray*} \sqrt{y} \end{eqnarray*}$ ist doch unabhängig von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , also kannst du das aus der Summe rausziehen.

Wenn dir das schwierigkeiten macht, warum nutzt du dann nicht die andere Möglichkeit?

28.04.2014, 13:31

Baloo

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Weil ich auch da gerade nicht weiterkomme, da sich nichts mehr kürzen lässt.

Abgesehen davon steht die Formel dazu nicht in meinem Buch und da ich das eventuell an der Tafel erklären muss und keine Ahnung hab, woher die Formel kommt oder warum sie gilt ... (nein, ich bin kein Mathematiker und das hat offensichtlich Gründe *g*)

28.04.2014, 13:38

bijektion

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Zitat:

Weil ich auch da gerade nicht weiterkomme, da sich nichts mehr kürzen lässt.

Wenn du

Zitat:

Du solltest aber der Form wegen evtl. $\begin{eqnarray*} a_n= \begin{cases}<br /> 0 & n \equiv 0 \mod 2 \\<br /> \frac{1}{n!} & n \equiv 1 \mod 2 \\<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$ setzen und die Reihe schreiben als $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \cdot x^n \end{eqnarray*}$ .

meinst, da brauchst du nichts kürzen, sondern nur den Limes superior von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ berechnen, und das sollte kein Problem darstellen.

Zitat:

Abgesehen davon steht die Formel dazu nicht in meinem Buch

Welche denn? Cauchy-Hadamard wird da wohl drinstehen.

Die Umformung die du für das Quotientenkriterium suchst ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n>=0} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} = z \cdot \sum\limits_{n>=0} \frac{z^{2n}}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$ , der Vorfaktor ist für die Konvergenz jetzt sowieso uninteressant.

28.04.2014, 13:45

Baloo

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Eigentlich meinte ich die Idee von Klarsoweit.

Dieses Vorgehen verstehe ich nämlich nicht. Da wäre der Limes sup wieder der Limes.

limes von 1/n! = 0

Da versteh ich überhaupt nicht, was mir das Ergebnis bringen soll.

Argh, für jeden Dreck gibts 30 Seiten Erklärung. Warum auf 1 2 folgt wurde lang und breit erklärt, aber so etwas wichtiges wird in zwei Formel und einer halben Seite abgehandelt traurig

traurig

28.04.2014, 13:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von Baloo
Eigentlich meinte ich die Idee von Klarsoweit.

Dieses Vorgehen verstehe ich nämlich nicht. Da wäre der Limes sup wieder der Limes.

limes von 1/n! = 0

Mein Vorgehen basiert auf: http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzr...onvergenzradius

Und das funktioniert auch nur, wenn der besagte Limes existiert.
Im übrigen steht dann auch nicht "limes von 1/n!" da.

28.04.2014, 13:55

Baloo

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Hm, danke, ich lass das Beispiel mal gut sein, ich komm nicht auf eine zufriedenstellende Lösung, die ich auch erklären könnte.

In der Zeit die ich in das Beispiel investiert hab, hab ich 4 andere gelöst und ein halbes Programm geschrieben, insofern: Danke nochmal, aber der Aufwand steht in keinem Verhältnis zum Nutzen!

28.04.2014, 14:10

klarsoweit

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Also der Aufwand ist minimal. Du machst ihn nur künstlich größer, als er in Wirklichkeit ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.04.2014, 14:15

Baloo

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Das ist er meistens, wenn man versteht was passiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

Letzteres ist hier bei mir aber nicht der Fall. Ich bin nur noch verwirrt und je mehr ich zu dem Thema lese, desto verwirrter bin ich.

28.04.2014, 15:14

klarsoweit

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Da hilft nur eins: sich mal etwas Zeit nehmen und alles in Ruhe auseinanderdröseln. smile

smile

28.04.2014, 15:49

Baloo

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Zitat:

Original von klarsoweit
Da hilft nur eins: sich mal etwas Zeit nehmen und alles in Ruhe auseinanderdröseln. smile

smile

Würde ich gerne und werde ich zu gegebener Zeit. Die Übung ist allerdings morgen und es wartet ein riesiger Berg anderer Arbeit auf mich, insofern keine Zeit noch mehr Zeit in diese eine Lehrveranstaltung zu stecken Augenzwinkern

Augenzwinkern

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