Eigenwerte bei Komposition linearer Abbildungen

28.04.2014, 16:51	zhy91	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte bei Komposition linearer Abbildungen Meine Frage: Hallo allerseits, ich habe einen K-Vektorraum V und $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ : V -> V ist eine lineare Abbildung. Gegeben ist, dass $\begin{eqnarray} \phi \circ \phi + \phi \end{eqnarray}$ den Eigenwert -1 besitzt. Daraus soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \phi \circ \phi \circ \phi \end{eqnarray}$ den Eigenwert 1 hat. Meine Ideen: Ich habe mir überlegt, dass der Eigenwert bei der Komposition $\begin{eqnarray} \phi \circ \phi \end{eqnarray}$ (also beim hintereinander ausführen) dem Eigenwert von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ , (hier $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ) zum Quadrat hat, und dadurch $\begin{eqnarray} \phi \circ \phi \circ \phi \end{eqnarray}$ den Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda^4 \end{eqnarray}$ hat. Ich habe nur keine Ahnung, wie ich mit dem $\begin{eqnarray} +\phi \end{eqnarray}$ umzugehen habe. Wie modifiziert das meinen Eigenwert?
28.04.2014, 16:58	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Wesentlichen ist das die Lösung: $\begin{eqnarray} x^3-1=(x^2+x+1)(x-1) \end{eqnarray}$
28.04.2014, 17:39	zhy91	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal Danke für die schnelle Antwort =) Wie komme ich denn von diese nicht näher definierten Abbildung auf das charakteristische Polynom? Und kann ich das damit für jeden beliebigen K-VR zeigen? Ich dachte ein char. Polynom ist nur für endlich Dimensionale Vektorräume definiert? Ich habe gehofft, es gibt vielleicht eine einfachere/anschaulichere Erklärung. Ich habe leider noch nicht so viel Verständnis für das Thema :/
28.04.2014, 18:35	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe doch irgendwo über das char. Polynom gesprochen. Du solltest dir eher mal bewusst machen, dass definitionsgemäß folgende Äquivalenz gilt: $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ ist Eigenwert von $\begin{eqnarray} \phi^2+\phi \end{eqnarray}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray} \phi^2+\phi+1 \end{eqnarray}$ singulär ist. Für den Eigenwert $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \phi^3 \end{eqnarray}$ macht man Analoges und dann erkennst du vielleicht, was mein vorheriger Beitrag sollte.
28.04.2014, 18:48	zhy91	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann habe ich anscheinend noch weniger verstanden als angenommen. Werde mir das dann nochmal genauer anschauen. Vielen Dank für die Hilfe.
28.04.2014, 21:10	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst ja mal $\begin{eqnarray} \phi(\phi^2+\phi+1) \end{eqnarray}$ betrachten.
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