Ringhomomorphismen

28.04.2014, 16:53

Trode

Ringhomomorphismen

Meine Frage:
Ich habe zwei Fragen zu Ringhomomorphismen. Es sind Teile von Aufgaben, die ich einmal lösen musste bzw. noch möchte:

1. Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb K[X] \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \mathbb K(X) \end{eqnarray*}$ ist ein injektiver Ringhomomorphismus. Ich möchte jetzt nicht unbedingt einen Beweis, aber ich möchte gerne verstehen, warum $\begin{eqnarray*} \mathbb K(X) \end{eqnarray*}$ dann ein unendlicher Körper sein muss.

2. Hat man stattdessen einen Ringisomorphismus, gilt anscheinend:
- $\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} f(x) > 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$

Kann mir das jemand zeigen oder näher erläutern?

Meine Ideen:
Zu 1.
Da der Hom injektiv ist, gibt es in $\begin{eqnarray*} \mathbb K(X) \end{eqnarray*}$ ja mindestens so viele Elemente wie in $\begin{eqnarray*} \mathbb K[X] \end{eqnarray*}$ . Ich müsste also irgendwoher wissen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb K[X] \end{eqnarray*}$ unendlich ist. Gibt es da einen brauchbaren Satz über Polynomringe, den ich nicht kenne?

Zu 2.
Ein Ringisomorphismus ist ja bijektiv. Sprich jedes Element im zweiten Ring hat genau ein Urbild im abbildenden Ring. Aber schon die erste Behauptung ist mir nicht zugänglich. Wäre z.B. f(x)=2x könnte ich doch (da ich ja in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ bin) auch jedes Element treffen, oder nicht?

28.04.2014, 18:03

Elvis

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zu 2.) $\begin{eqnarray*} f(x)=2x \end{eqnarray*}$ ist kein Ringhomomorphismus, weil $\begin{eqnarray*} f(1)=2\ne 1 \end{eqnarray*}$ ist, aber es muss $\begin{eqnarray*} f(1)=f(1*1)=f(1)*f(1) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$ sein.
zu 1.) Bist du sicher, dass die Aufgabe richtig gestellt ist ? Den Polynomring über einem Körper K[X] kann man immer in den Körper der rationalen Funktionen K(X) über dem Körper K einbetten.

28.04.2014, 20:20

Trode

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Hi Elvis,

danke für deine Antwort.
Bei zweiten Frage hast du natürlich recht, das habe ich nicht bedacht.
Hast du denn einen Ansatz für mich, wie ich die zwei Spiegelstriche zeigen/beweisen könnte? Sie sehen ja nicht nach viel aus, aber dennoch komme ich nicht auf die richtige Idee.

Die erste Frage war mal eine Teilaufgabe auf einem Blatt. Ziel der gesamten Aufgabe war es, den Körper der rationalen Funktionen aus dem Polynomring zu konstruieren. Da habe ich erst die Äquivalenzrelation gezeigt und danach, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb K(x) \end{eqnarray*}$ ein Körper ist.

Danach stand: Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb K[X] \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \mathbb K(X) \end{eqnarray*}$ ; p -> (p,1) ist ein injektiver Ringhomomorphismus. Man kann folgern, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb K(X) \end{eqnarray*}$ ein unendlicher Körper ist, der den Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ enthält.

Das war der genaue Wortlaut.

28.04.2014, 21:37

Louis1991

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Hallo,

welcher Teil bei 1. ist denn nicht trivial? Falls es um die Unendlichkeit geht: Polynomringe tragen eine unendlich dimensionale Vektorraumstruktur. Alles andere sollte auch klar sein, je nachdem wie ihr $\begin{eqnarray*} K(X) \end{eqnarray*}$ eingeführt habt mehr oder minder.

Bei 2. fehlen Voraussetzungen. Welche Domain/Codomain haben die Morphismen? Was soll " $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ " heißen?

lg

29.04.2014, 10:16

Elvis

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@Trode
Wie du siehst, lohnt es sich, die Aufgabe 1. wörtlich hinzuschreiben. Hier hast du explizit den Ringhomomorphismus gegeben, der K[X] in seinen Quotientenkörper K(X) einbettet. Für endliche Körper K darf man die Polynome nicht mit den Polynomfunktionen verwechseln, es gibt unendlich viele Polynome, z.B. die unendliche Familie $\begin{eqnarray*} (X^n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ , aber nur endlich viele Polynomfunktionen $\begin{eqnarray*} p:K\to K,x\to p(x) \end{eqnarray*}$ , weil es nur endlich viele verschiedene Funktionen gibt.
Wenn du Antworten zu 2. haben möchtest, solltest du bitte auch den vollständigen Aufgabentext schreiben.

29.04.2014, 17:03

Trode

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Ja, das stimmt wohl smile

die 1 dürfte jetzt klar sein.

Aufgabe 2 lautet vollständig so:
Es sei f: R -> R ein Körperautomorphismus, d.h. ein bijektiver Ringhomomorphismus. Zeigen Sie:

a) für x Element Q gilt f(x) = x
b) für x >0 gilt f(x)>0.

29.04.2014, 17:48

Elvis

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Nun, ja.
a) Was macht f mit 1, natürlichen Zahlen, -1, ganzen Zahlen, rationalen Zahlen ?
b) x=y²

29.04.2014, 20:30

Trode

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Wie meinst du das: "Was macht f damit?" Soll ich das einsetzen?

Es tut mir Leid, dass ich so schwer von Begriff bin, aber ich bin fachfremd und kann mit den ganzen Morphismen noch nicht viel anfangen...

30.04.2014, 00:15

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Trode
Es tut mir Leid, dass ich so schwer von Begriff bin, aber ich bin fachfremd und kann mit den ganzen Morphismen noch nicht viel anfangen...

Morphismen berücksichtigen die Struktur der mathematischen Gebilde, zwischen denen die Abbildung definiert ist. Ein Gruppenhomomorphismus ist mit den Gruppenoperationen in Bild- und Definitionsmenge verträglich, also $\begin{align*} &f:G\to H, f(g_i)\mapsto h_i, &f(g_1\cdot g_2)\mapsto f(g_1)*f(g_2)=h_1*h_2, &g_i\in G(\cdot), h_i\in H(*), &G(\cdot),H(*) \small\text{ Gruppen mit den jeweiligen Gruppenoperationen $\cdot$ bzw. $*$} \end{align*}$
Deswegen muss die 1 immer auf die 1 abgebildet werden.

Bei Ringen und Körpern sind es zwei Operationen, mit denen der Morphismus verträglich sein muss, also
$\begin{align*} &\phi:R\to S, \phi(r_i)\mapsto s_i, &\phi(r_1+r_2)\mapsto \phi(r_1)\oplus \phi(r_2)=s_1\oplus s_2, &\phi(r_1\cdot r_2)\mapsto \phi(r_1)*\phi(r_2)=s_1*s_2, &r_i\in R(+,\cdot), s_i\in S(\oplus,*) &R(+,\cdot), S(\oplus,*)\small\text{ Ringe mit den jeweiligen Ringoperationen $+,\cdot$ bzw. $\oplus,*$} \end{align*}$
Hier muss die 1 auf die 1 abgebildet werden (soweit vorhanden) und die 0 auf die 0.

Analoges gilt für Körper.

30.04.2014, 12:12

Elvis

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Homomorphismen sind die wichtigsten Abbildungen in der Algebra, weil sie die algebraischen Strukturen erhalten. Homöomorphismen sind die wichtigsten Abbildungen in der Topologie, weil sie die topologischen Strukturen erhalten. Holomorphismen sind die wichtigsten Abbildungen der Funktionentheorie, ... Morphismen sind das A und O der Mathematik.

Ring-Homomorphismen:
a) f(0)=1,f(1)=1, f(n+1)=f(n)+f(1) , daraus kannst du (hoffentlich) schließen, dass f(x)=x für alle rationalen x.
b) $\begin{eqnarray*} x>0\Rightarrow x=y^2\Rightarrow f(x)=f(y^2)=f(y)^2 \end{eqnarray*}$ ... und was ist ein reelles Quadrat ?

30.04.2014, 12:40

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Elvis
Ring-Homomorphismen:
a) f(0)=1,f(1)=1, f(n+1)=f(n)+f(1) , daraus kannst du (hoffentlich) schließen, dass

Du meintest bestimmt f(0)=0.

01.05.2014, 11:00

Elvis

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Das meine ich ganz bestimmt. Danke.

01.05.2014, 12:14

Trode