Offene/abgeschlossene Mengen in C^0

28.04.2014, 17:27

marcelneu

Offene/abgeschlossene Mengen in C^0

Hallo zusammen,

ich verzweifle gerade an einer Aufgabe die wie folgt aussieht:

Sei $\begin{eqnarray*} C^{0} (\left[a,b\right] ) \end{eqnarray*}$ der Raum der stetigen Funktion auf dem Intervall [a,b]. Untersuchen sie, ob die folgenden Teilmengen bzgl. der $\begin{eqnarray*} || . ||_\infty \end{eqnarray*}$ - Norm offen oder abgeschlossen sind:

$\begin{eqnarray*} A:=\left\{ f\in C^{0} (\left[a,b\right] ): f(b)=0\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B:=\left\{ f\in C^{0} (\left[a,b\right] ): f(b)>0\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C:=\left\{ f\in C^{0} (\left[a,b\right] ): 0\leq f(x)\leq 1 \forall x\in [a,b]\right\} \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

Ich habe zunächst versucht mich an die Menge A heranzutasten. Hierzu hab ich sowohl versucht die Annahme A sei abgeschlossen als auch A sei offen zu zeigen. In beiden Fällen jedoch finde ich "Gegenbeispiele", sodass ich keine Annahme beweisen kann.
Wenn A wirklich offen sein sollte, müsste A Umgebung für alle f in A sein. Das heißt, dass es ein Epsilon gößer Null gibt, sodass die Epsilon-Kugel ganz in A ist. Allerdings kann ich doch für jedes beliebige Epsilon eine Funktion finden, die als Supremumsnorm eben nur maximal Epsilon vom f entfernt ist, aber dennoch nicht bei f(b)=0 landet (egal ob 0 das Supremum ist, oder nicht, oder?)

Andersherum, mit der Annahme das Komplement von A sei offen, habe ich hier versucht mir eine Kugel zu konstruieren.
Mein Versuch war es, $\begin{eqnarray*} \epsilon = | \frac{f(b)}{2} | \end{eqnarray*}$ zu wählen, sodass die Elemente in der Epsilon-Kugel nicht in A liegen. Jedoch geht dies schief, da es Funktionen geben kann die beispielsweise das gleiche Supremum haben und trotzdem f(b)=0 gilt.

Mittlerweile zweifel ich schon an meinem Verständnis der Metrik. Für mich gibt es unendlich viele Funktionen im gegebenen Raum, die das gleiche Supremum haben. Der Abstand bzgl der Supremumsnorm wäre dann doch 0, wobei es sich nicht um gleiche Funktionen handeln muss ...

Ich wäre sehr dankbar um jegliche Erklärungen, die mich auf Höhe der Aufgabe bringen könnten!

29.04.2014, 00:19

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RE: Offene/abgeschlossene Mengen in C^0
Dieses Verständnis

Zitat:

Original von marcelneu
[...] Funktionen im gegebenen Raum, die das gleiche Supremum haben. Der Abstand bzgl der Supremumsnorm wäre dann doch 0, [...]

ist tatsächlich falsch. Im Allgemeinen ist $\begin{eqnarray*} \|f-g\|_\infty\,{\color{red}\neq} \,\|f\|_\infty-\|g\|_\infty \end{eqnarray*}$
Beispiel $\begin{eqnarray*} f(x)=x,\, g(x)=(x+1)/2, x\in[0,1] \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} \|f\|_\infty=\|g\|_\infty=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \|f-g\|_\infty=sup_{x\in[0,1]}|f(x)-g(x)|=1/2 \end{eqnarray*}$

29.04.2014, 08:46

marcelneu

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RE: Offene/abgeschlossene Mengen in C^0
Ach, ja!
Dann macht die Metrik, die durch die Norm erzeugt wird auch wieder Sinn!
Nun müsste es ja mit dem Epsioon gehen.
Vielen Dank für die Antwort smile

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