Fakultätsfunktion

28.04.2014, 21:10

Mariechen89

Fakultätsfunktion

Meine Frage:
Zeige, dass für die Fakutltätsfunktion die Beziehung

Fak(x)= $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (-ln(t))^x \, dt \end{eqnarray*}$

gilt.

Meine Ideen:
Hallo,
Also erstmal muss ich sagen, dass ich nichtmal weiß, was der Prof von mir will Augenzwinkern

Die Fakultätsfunktion ist ja: $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! t^xe^-t \, dt \end{eqnarray*}$
Die haben wir mit den uneigentlichen Integralen hergeleitet. (wobei ich nichtmal das verstanden habe...)

Muss ich irgendwie umformen um gleichheit der beiden Funktionen zu zeigen?!

Lg Marie

28.04.2014, 21:44

Helferlein

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Habs jetzt nicht komplett dirchgerechnet, aber das sieht stark nach Substitution aus.

28.04.2014, 21:59

Mariechen89

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Also ich habe mal mit Substitution

Fak( $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ )= $\begin{eqnarray*} \sqrt{\pi } \end{eqnarray*}$

gelöst

Aber, wenn du recht haben solltest, wärst du so nett und würdest mir noch den Substitutionsansatz geben?

Lg Marie

28.04.2014, 23:12

Helferlein

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Ist das nicht recht offensichtlich? Setze in der Fakultätsfunktion $\begin{eqnarray*} t=-ln(u) \end{eqnarray*}$ und passe das Differential und die Grenzen an.

29.04.2014, 11:04

Mariechen89

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Ja stimmt wohl! Habe auch mal angefangen!

t= ln(u); du= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{u} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_ 0^\infty \! (-ln(u)^{x}e^{ln(u)}*(-\frac{1}{u}) \, du \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! -ln(u)^{x}* u * (-\frac{1}{u}) \, du \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} ln(u)^{x} \end{eqnarray*}$

was ja nicht ganz mit der lösung übereinstimmt ... ist das ein einfacher Vorzeichenfehler?!

Und noch die elemantare Frage: Wie stell ich denn die neuen Grenzen her?! Wie komme ich von +Unendlich auf 1 ?

29.04.2014, 14:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mariechen89
Wie stell ich denn die neuen Grenzen her?! Wie komme ich von +Unendlich auf 1 ?

So gar nicht. unglücklich

Die Grenzen werden genauso der Substitution unterzogen. Hier bei $\begin{eqnarray*} t=-\ln(u) \end{eqnarray*}$ ist umgestellt $\begin{eqnarray*} u = e^{-t} \end{eqnarray*}$ und daher:

Untere Grenze $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} u=e^{-0} = 1 \end{eqnarray*}$

Obere (uneigentliche) Grenze $\begin{eqnarray*} t=\infty \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} u=\lim_{t\to\infty} e^{-t} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Also steht da direkt nach der Substitution: $\begin{eqnarray*} \int\limits_1^0 (-\ln(u))^x \cdot u \cdot \left( - \frac{1}{u} \right) ~ \dd u \end{eqnarray*}$

Vertauschung der Integralgrenzen bewirkt Vorzeichenwechsel des Integralwertes.

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