Endliche Summen berechnen

28.04.2014, 21:17	eni2208	Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche Summen berechnen Ich soll folgende Summe berechnen $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich habe auch schon etwas ausprobiert, weiß aber irgendwann nicht mehr weiter bzw. wo ich hin will. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\sum\limits_{k=0}^n \frac{n!}{(n-k)!k!}<br /> =\frac{n!}{(n-0)!0!}+\frac{n!}{(n-1)!1!}+\frac{n!}{(n-2)!2!}+...+\frac{n!}{(n-(n-1))!(n-1)!}+\frac{n!}{0!n!}<br /> =1+n+\frac{(n-1)n}{2}+\frac{(n-2)(n-1)n}{3}+...+n+1<br /> =2(1+n+\frac{(n-1)n}{2}+\frac{(n-2)(n-1)n}{3}+...) \end{eqnarray}$ und beim letzten geht es dann ja nur bis zur Hälfte, bin mir aber nicht sicher wie ich das schreiben soll. Jemand einen Tipp für mich?
28.04.2014, 21:23	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest ja mal die Summe für die ersten Werte von n berechnen (für n=1, 2, 3, 4). Dann erkennst du wahrscheinlich schon das Muster. Das kannst du dann per vollständiger Induktion beweisen. Edit: Ach ne, das ist ja viel zu kompliziert. Viel schneller geht es mit der Anwendung des Binomischen Lehrsatzes.
28.04.2014, 21:49	eni2208	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ja, das funktioniert ja super, danke Zufällig auch eine Idee was ich bei $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n (n-k)\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ machen könnte?
28.04.2014, 22:04	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n (n-k)\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} =\sum_{k=0}^n \left(n\binom{n}{k}-k\binom{n}{k}\right)=\sum_{k=0}^n n\binom{n}{k}-\sum_{k=0}^n k\binom{n}{k} \end{eqnarray}$ Die erste Summe kannst du berechnen mit dem, was du oben gezeigt hast. Für die zweite Summe benutzt du $\begin{eqnarray} k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1} \end{eqnarray}$ .
28.04.2014, 23:30	eni2208	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe noch nicht so ganz wie ich das zurückführen soll. Ich kann ja schlecht für x oder y n beim bin. Lehrsatz nehmen, oder?
29.04.2014, 09:36	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Summe $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n n\binom{n}{k} \end{eqnarray}$ kannst du das konstante n aus der Summe rausziehen (weil es nicht von k abhängt). Bei $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n k\binom{n}{k} \end{eqnarray}$ fällt dir vielleicht auf, dass der erste Summand 0 ist, deswegen ist diese Summe gleich $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n k\binom{n}{k} \end{eqnarray}$ . Jetzt setzt du das ein, was ich oben schon geschrieben hatte. Dann noch eine kleine Indexverschiebung, und dann bist du schon fast fertig.
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