Abundanz und Vielfachheit

30.04.2014, 09:12

Kapuzit

Abundanz und Vielfachheit

Sei $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ eine abundante Zahl, d.h.: $\begin{eqnarray*} \sigma (n) = \sum_{d|n} d > 2n \end{eqnarray*}$ .
Zeige, dass
a) Jedes Vielfache von n ebenfalls abundant ist
b) Jedes echte Vielfacher einer vollkommenen Zahl abundant ist

Zu a)

Sei also $\begin{eqnarray*} \sigma(n) \ge 2n \end{eqnarray*}$ .
Es ist: $\begin{eqnarray*} \sigma (kn) = \sum_{x|kn} x \ge \sum_{y|n} ky + ?? = k\cdot \sigma(n) + ?? = 2kn + ?? > 2kn \end{eqnarray*}$ .

Mir fehlt, wie man hoffentlich bemerken konnte, das, was für ?? eingesetzt werden muss. Oder lässt sich das ganz anders und viel schöner zeigen?

Zu b)

Sei also m unsere vollkommene Zahl, d.h. $\begin{eqnarray*} \sigma(m) = 2n \end{eqnarray*}$ .
Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} \sigma(kn) > 2kn \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} k \not= 1 \end{eqnarray*}$ (da echtes Vielfaches).

Ich denke, das lässt sich ganz analog zeigen, denn:

$\begin{eqnarray*} \sigma (kn) = \sum_{x|kn} x \ge \cdots = 1 + k \cdot \sigma(n) = 1 + 2kn > 2kn \end{eqnarray*}$

30.04.2014, 10:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kapuzit
Oder lässt sich das ganz anders und viel schöner zeigen?

So ist es. Augenzwinkern

a) Für jedes $\begin{eqnarray*} d \mid n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} kd \mid kn \end{eqnarray*}$ , folglich gilt schlicht

$\begin{eqnarray*} \sigma(kn) \geq \sum_{d\mid n} kd = k\sigma(n) > 2kn \end{eqnarray*}$ .

b) Da hast du den richtigen Riecher: Das läuft ab wie in a), nur dass wir im Fall $\begin{eqnarray*} k>1 \end{eqnarray*}$ zusätzlich denn bei den $\begin{eqnarray*} kd \end{eqnarray*}$ garantiert noch nicht mit gezählten Teiler 1 berücksichtigen dürfen, d.h.

$\begin{eqnarray*} \sigma(kn) \geq 1+\sum_{d\mid n} kd = 1+k\sigma(n) = 1+2kn > 2kn \end{eqnarray*}$ .

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