Würfelwurf

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Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »
Würfelwurf
Ein Würfel wird 100 mal geworfen.

Welche Augensumme ist am wahrscheinlichsten ?

Diese Frage hat uns unser Lehrer gestellt und wir haben ihn bloß angeguckt und gesagt, dass können wir doch niemals bestimmen.
Vor allem weil wir ein 100 stufiges Baumdiagramm erstellen müssen. unglücklich

Vielen Dank
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht will er einfach nur die auch heuristisch plausible Antwort 350 begründet haben. Augenzwinkern
DeltaX Auf diesen Beitrag antworten »

So eine Frage hatten wir in der Unterstufe auch mal;

wenn er auf ein Laplace-Experiment hinaus will, ist der erste Satz sowieso erstmal hinten angestellt.

Pro Wurf ist die Wahrscheinlichkeit einer Zahl zw. 1 und 6 ja jeweils gleich.

Sei dies so, könne man davon ausgehen, dass bei 96 Würfen jede Zahl 16x gewürfelt wurde (theoretisch). Die letzten 4 würfe würden dann also über die häufigste Augensumme entscheiden.

War das denn sein genauer Wortlaut?
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
plausible Antwort 350 begründet haben.


Wie bist du darauf gekommen ? Big Laugh

Zitat:
Original von DeltaX
War das denn sein genauer Wortlaut?


Ja.




-----------

Ich habe es mir folgendermaßen überlegt.

Zuerst würde ich die Anzahl der Möglichkeiten bestimmen.

Habe aber keinen blassen Schimmer, wie ich das machen soll, weil die Pfade immer größer werden.

Angenommen man würfelt hintereinander:



Ich finde keine allgemeine Laubschrift, womit man die Möglichkeiten bestimmen könnte.

2. Idee:



Bringt mir auch nichts oder ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Exakt geht es z.B. so: Basierend auf der hier

Verteilung der Summe von n Augenzahlen beim Würfeln

genannten Rekursion kann man folgendes per Vollständiger Induktion über beweisen:

ist monoton wachsend im Bereich (also bis zur "Mitte") und darüber hinaus symmetrisch .
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Das hört sich ja wahnsinnig kompliziert an. Big Laugh


Ich habe gerade die "Vollständige Induktion" gegoogelt.

Meinst du, dass man dieses System beweisen soll ?

Muss man beweisen, dass die Summe monoton wächst ?


Zitat:
Original von HAL 9000
.


Wieso gilt diese Gleichung ?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bonheur
Muss man beweisen, dass die Summe monoton wächst ?

Man kann es beweisen, und damit als Nebenprodukt deine Frage wasserdicht klären.

Die Ansicht "Muss ich denn da soviel beweisen - ich will doch eigentlich viel weniger haben, das muss doch dann einfacher sein" kann ein Trugschluss sein:

Eine mächtigere Behauptung in einem Induktionsbeweis bedeutet mitunter, dass man im Induktionschritt auch auf die dann ebenfalls (vom Informationsgehalt) mächtige Induktionsvoraussetzung zurückgreifen kann - ein entscheidender Vorteil gerade in der Sache hier. Augenzwinkern



Wenn du eine bessere Idee hast, dann raus damit.

Zitat:
Original von Bonheur
Zitat:
Original von HAL 9000
.


Wieso gilt diese Gleichung ?

Das ist nun wirklich nicht schwer:

Jeder Wurffolge mit Summe kannst du eine Wurffolge mit dann der Summe



zuordnen, und zwar eineindeutig. Damit ist die Anzahl der Wurffolgen, die zu Summe führt gleich der Anzahl der Wurffolgen, die zu Summe führt. Und da in diesem Laplaceraum (ich nehme ja an, dass der Würfel ungezinkt sein soll Augenzwinkern ) alle Wurffolgen gleichwahrscheinlich sind, íst diese Gleichheit der Wahrscheinlichkeiten nachgewiesen.
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

Geht es nicht einfach auch so:

100/6*(1+2+3+4+5+6)=350 verwirrt
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Das ist nun wirklich nicht schwer


Ja klar. Big Laugh

Ich beschäftige mich mal ein wenig damit.

Schreibe später nochmal rein, wenn ich eine Idee dazu habe.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von adiutor62
Geht es nicht einfach auch so:

100/6*(1+2+3+4+5+6)=350 verwirrt

Das ist der Nachweis für den Erwartungswert - von dem sprechen wir hier aber nicht, sondern von dem wahrscheinlichsten Wert, dem Modalwert. Es ist nicht zwingend so - selbst bei symmetrischen Verteilungen - dass Modalwert und Erwartungswert übereinstimmen, es bedarf eines Beweises.
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Jeder Wurffolge mit Summe kannst du eine Wurffolge mit dann der Summe



zuordnen, und zwar eineindeutig. Damit ist die Anzahl der Wurffolgen, die zu Summe führt gleich der Anzahl der Wurffolgen, die zu Summe führt



Ich versuche es gerade nachzuvollziehen. smile

Beschreibt die höchstmögliche Summe beim Würfeln ?

z.B



Ich hoffe, dass ich kein Mumpitz geschrieben habe. verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir reden von irgendeinem, aber festem , da ist natürlich auch irgendein Wert, das hat nichts mit dem maximal möglichen Summenwert zu tun.

Die höchstmögliche Summe ist .

Ich finde diese Nachfrage äußerst verwirrend, da ich dachte mich deutlich in der Begründung ausgedrückt zu haben. verwirrt



Als Beispiel mal n=3 und k=7

Da wird dann der Wurffolge 2,1,4 mit Summe 2+1+4=7 die Wurffolge 5,6,3 mit Summe 5+6+3=14 zugeordnet.

Und das geht eben für jede Wurffolge mit Summe 7, als zweites Beispiel 3+2+2=7 zugeordnet zu 4+5+5=14, usw.
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Ich finde diese Nachfrage äußerst verwirrend, da ich dachte mich deutlich in der Begründung ausgedrückt zu haben.


Du hast dich sehr deutlich ausgedrückt. Es ist allerdings schwer zu verstehen, wenn man sowas noch nie gemacht hat. smile


Na dann schaue ich mir das nochmal an. smile
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe mal einige Schritte zurück.

Zitat:
Original von HAL 9000
ist monoton wachsend im Bereich


d.h doch eigentlich, dass sich die wahrscheinlichste Augensumme, sich immer im mittleren Bereich befindet.

Angenommen n sei die "Anzahl der Würfe".

Habe mir eine Liste erstellt und habe die ersten drei Würfe überprüft und ich habe festgestellt, dass die wahrscheinlichste Augensumme immer mittig liegt.
Es wurde demnach das arithmetisches Mittel bzw. der Erwartungswert bestimmt.

Das würde erstmal auch die 350 erklären.


Ob das wirklich für alle Werte gilt, muss man nun beweisen.

Habe ich das bis hierher richtig verstanden ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bonheur
Ob das wirklich für alle Werte gilt, muss man nun beweisen.

So ist das nun mal in der Mathematik: Nur, weil die Monotonieaussage für n=2,3,4,5 (wie weit auch immer) gilt, heißt das ja noch lange nicht, dass sie auch für alle n gilt - deswegen die Notwendigkeit eines Beweises.

Natürlich ist es so, dass du es nur für n=100 wissen willst - aber das aufzulisten, wird dann schon etwas länglich. Da erscheint der allgemeine Beweis für alle n doch als die elegantere Variante.
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe.

Könntest du mir einen Tipp geben, wie ich mit dem Beweis anfangen muss ?

Habe mir vorhin einen Beitrag über "Vollständige Induktion" durchgelesen.

Und habe es auch an einigen Beispielen geschafft.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist zwar kein komplizierter, aber doch mit einer gewissen technischen Sorgfalt durchzuführender Beweis - ich gebe ihn mal ausnahmsweise komplett an.


Zunächst die nachzuweisende Aussage nochmal genau fassen, als strenge Monotonie:

Zitat:
: Für alle mit gilt .

Für gilt das noch nicht, aber für , und so weist man das nach:


Induktionsanfang : Hier ist für (selbst nachrechnen bzw. nachschauen!), damit gilt Aussage .


Induktionsschritt für :

Gemäß Rekursion (siehe Link oben) gilt , damit folgt



Solange diese Differenz durchgehende positiv ist, sind wir im strengen Monotoniebereich. Bei startend, ist aufgrund der Induktionsvoraussetzung auf jeden Fall

für alle mit

erfüllt. Aber auch noch ein "kleines Stückchen" darüber hinaus, denn mit der oben erwähnten (und schon bewiesenen) Symmetriebeziehung ist , somit haben wir für



Und dies ist nach wie vor positiv (basierend wieder auf der Induktionsvoraussetzung), solange gilt, umgestellt , was äquivalent zu ist. Summa summarum haben wir also für alle mit sowie auch für die mit erfüllt. Zusammengefasst ergibt das gerade , was den Induktionsschritt komplettiert.
Bonheur Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, dass du dir diese Mühe gemacht hast.

Danke, danke danke. smile

Ich muss jetzt schlafen, aber ich werde mir das morgen solange ansehen, bis ich es verstanden habe.


Sowas macht man aber nicht im Abitur oder smile ?

Deshalb freue ich mich schon darauf, so etwas kompliziertes zu lernen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das ist so eine dieser Aussagen, wo viele vielleicht sagen würden:

Ist doch irgendwie klar, dass die Wahrscheinlichkeiten bis zur "Mitte" steigen, und dann wieder fallen.

Aber wenn man konkret nachfragt "wie würdest du es denn exakt beweisen", dann lichten sich schon die Reihen. Ist vielleicht inhaltlich eher langweilig, dieser Beweis da oben, aber mitunter muss man sich auch durch sowas kämpfen. Augenzwinkern
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