Taylorreihe

30.04.2014, 23:32

Champ 10

Taylorreihe

Meine Frage:
Hallo,

Ich hätte eine Frage zu einem Übungsbeispiel:

Sei p : R ? R eine Polynomfunktion und a?R beliebig. Wie sieht die Taylor-Reihe von p mit Entwicklungspunkt a aus? Ist die Summe gleich dem Funktionswert? Was erhalten wir speziell für a= 0?

Ich bedanke mich für jede Hilfe

Meine Ideen:
Also erstes würde ich die Polynomfunktion angeben, also p(x) = Summe ak x^k
und dann ableiten.

Dann in die Taylorsche Formel einsetzen, also p(x):=Taylorreihe + Restglied n+1.
Da aber das Polynom n-ten Grades ist, ist der Restglied gleich Null, somit ist p(x)=Taylorreihe.

Stimmt das soweit ?

01.05.2014, 00:56

bijektion

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Was soll das nun alles genau heißen?
Sei $\begin{eqnarray*} p:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine Polynomfunktion, also $\begin{eqnarray*} p(x)=\sum\limits_{k=1}^n a_k \cdot x^k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k \in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1\leq k \leq n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Da aber das Polynom n-ten Grades ist, ist der Restglied gleich Null, somit ist p(x)=Taylorreihe.

Du musst dir aber anschauen, wie die Taylorentwicklung aussieht. Was ist denn die $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -te Ableitung von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \frac{d^j}{dx^j} p(x)=\dots \end{eqnarray*}$ ?

01.05.2014, 11:41

Champ 10

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Hallo danke,

Ja genau das wäre eigentlich die Frage, wie sieht die j-te ableitung eigentlich aus? Da hänge ich irgendwie, der Rest ist mir eigentlich schon klar.

01.05.2014, 12:01

bijektion

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Es gilt doch die Summand- und die Faktorregel, also ist $\begin{eqnarray*} p^{(j)}(x)=\sum\limits_{k=1}^n a_k \cdot \frac{d^j}{dx^j}x^k \end{eqnarray*}$ .
Kannst du das nweiter vereinfachen?

01.05.2014, 12:15

Champ 10

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Hallo bijektion,

Ich habe die j-te Ableitung vor einem Monat schon herausbekommen aber ich weiß jetzt nicht mehr wie ich dazu gekommen bin. Hammer

01.05.2014, 13:56

bijektion

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Die $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -te Ableitung steht doch jetzt schon da. Jetzt kannst du doch die Taylorentwicklung nutzen.

01.05.2014, 16:24

Champ 10

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Die erste Ableitung ist ja summenzeichen: ak*k*x^k-1
2. Ableitung, Summenzeichen: ak*k*(k-1)*x^(k-2)

Dann ist j-te Ableitung Anders oder ?
Wie hast du die j-te Ableitung berechnet ?

02.05.2014, 01:17

bijektion

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Du musst doch nur über $\begin{eqnarray*} x^k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1 \leq k \leq n \end{eqnarray*}$ wissen, wie die $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -te Ableitung aussieht, da die Summanden- und die Faktorregel greift.
Und es ist doch $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} x^k = k \cdot x^{k-1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{d^2}{dx^2} = k\cdot (k-1)\cdot x^{k-2} \end{eqnarray*}$ ,..., $\begin{eqnarray*} \frac{d^j}{dx^j} x^{k-j} \prod_{i=1}^{j} (k-i+1) \end{eqnarray*}$ zumindest wenn $\begin{eqnarray*} j \leq k \end{eqnarray*}$ .

Wie gehts weiter?

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