Doppelpost! Äquivalenz von Aussagen bei einer Funktion

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01.05.2014, 12:30	Nin3	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz von Aussagen bei einer Funktion Meine Frage: Seien X und Y Mengen und f: X --> Y eine Funktion. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind: (i) f ist injektiv (ii) Für alle Teilmengen $\begin{eqnarray} A\subset X \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} f^{-1}(f(A)) = A \end{eqnarray}$ (iii) Für alle Teilmengen $\begin{eqnarray} A,B\subset X \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (f(A)\cap B) = f(A) \cap f(B) \end{eqnarray}$ (iv) $\begin{eqnarray} f(A) \cap f(B) = leer \end{eqnarray}$ gilt für alle Teilmengen $\begin{eqnarray} A,B \subset X \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A \cap B = leer \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Wenn ich zeigen soll, dass die Aussagen äquivalent sind, muss ich ja einen Ringschluss durchführen. Für $\begin{eqnarray} (i) \Rightarrow (ii) \end{eqnarray}$ habe ich schon eine hoffentlich richtige Formulierung gefunden (per Widerspruchsbeweis): Angenommen $\begin{eqnarray} f^{-1}(f(A)) \neq A \end{eqnarray}$ Dann gibt es ein $\begin{eqnarray} x1 \in A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x2 \notin A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x1)=f(x2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x1 \neq x2 \end{eqnarray}$ . Dies ist ein Widerspruch zur Injektivität von f und somit eine falsche Aussage. Okay und bei den nächsten Schritten kommme ich schon nicht weiter.. Kann mir bitte jemand helfen??
01.05.2014, 14:00	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn überhaupt $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist ja nicht notwendig bijektiv, also wird es wohl nicht die Umkehrabbildung sein.
01.05.2014, 14:07	Nin3	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo bijektion, $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ soll das Urbild darstellen. Also $\begin{eqnarray} f^{-1}(f(A)) \end{eqnarray}$ ist das Urbild von f(A).
01.05.2014, 17:04	Nin3	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir niemand helfen?
01.05.2014, 17:13	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
In der dritten Aussage passt die Klammersetzung nicht. Ich vermute, dass da $\begin{eqnarray} f(A\cap B)=f(A)\cap f(B) \end{eqnarray}$ stehen soll. Um $\begin{eqnarray} i\Rightarrow iii \end{eqnarray}$ zu zeigen, musst du zeigen: Wenn $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ gilt, dann gilt $\begin{eqnarray} f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(A)\cap f(B)=f(A\cap B) \end{eqnarray}$ .
01.05.2014, 17:32	Nin3	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Nick, was genau ich da zeigen muss, habe ich verstanden. Aber ich weiß nicht, wie ich das mathematisch formulieren soll. Alles was ich bis jetzt zu $\begin{eqnarray} (ii) => (iii) \end{eqnarray}$ habe: $\begin{eqnarray} f(A\cap B) \subseteq f(A)\cap f(B) \end{eqnarray}$ es gibt ein $\begin{eqnarray} x\in A \wedge x\in B mit f(x) = y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y\in f(A) \wedge y\in f(B) \end{eqnarray}$ und ich glaube, das bringt mich nicht weit..
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01.05.2014, 17:44	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Nick ist nicht da, ich mische mich mal kurz ein. Wenn du $\begin{eqnarray} f(A\cap B) \subseteq f(A)\cap f(B) \end{eqnarray}$ zeigen willst, machst du es dir zu kompliziert. Wegen $\begin{eqnarray} A\cap B \subseteq A \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f(A\cap B) \subseteq f(A) \end{eqnarray}$ und analog für B.
01.05.2014, 17:47	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Aussagen in dieser Reihenfolge gezeigt: [attach]34086[/attach] Ist meiner Meinung nach die einfachste Möglichkeit. Deswegen hatte ich oben geschrieben, wie du $\begin{eqnarray} 1\Rightarrow 3 \end{eqnarray}$ zeigen kannst.
01.05.2014, 17:51	Nin3	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso okay, jetzt verstehe ich. Dann versuche ich das mal so in der Reihenfolge. Vielleicht fällt es mir dann leichter!
01.05.2014, 20:14	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelpost: http://www.onlinemathe.de/forum/Wie-kann...ssagen-beweisen. Und da es dort schon für alles einen kompletten Beweis gibt (was ja natürlich seeeeehr sinnvoll ist), bezweifle ich, dass sich Nin3 jemals wieder hier melden wird. Schade!

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