induktion binomialkoeffizent

01.05.2014, 13:27

kadoy

induktion binomialkoeffizent

Hey, ich komm bei folgender aufgabe nicht weiter und bitte um hilfe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=m}^n \begin{pmatrix} k \\ m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1 \\ m+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich komm hier beim IA schon nicht zurecht, da ich auf keine gleichheit komme wenn ich n =0 bzw 1 setze oder muss ich n =m oder k setzen?

01.05.2014, 13:30

HAL 9000

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Wer sagt denn, dass die Gleichung für n=0 bzw. n=1 gelten soll? Angesichts der Summe links macht eher Sinn, wenn das ganze für $\begin{eqnarray*} n\geq m \end{eqnarray*}$ zu beweisen ist. Sagt denn die Aufgabenstellung nichts dazu?

01.05.2014, 13:32

kadoy

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huch ja es ist genau so wie du es sagst smile

ok der IA ist dann

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=m}^m \begin{pmatrix} m \\ m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m+1 \\ m+1 \end{pmatrix} = 1 = 1 \end{eqnarray*}$

hm muss ich dann bei der Voraussetzung trotzdem n+1 nehmen?

01.05.2014, 13:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von kadoy
hm muss ich dann bei der Voraussetzung trotzdem n+1 nehmen?

Unverständlich. Erstaunt1

01.05.2014, 13:44

kadoy

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na ja ob die IV

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=m}^{n+1} \begin{pmatrix} k \\ m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+2 \\ n+2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist

01.05.2014, 13:47

HAL 9000

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Warum in aller Welt schreibst du $\begin{eqnarray*} n+2 \end{eqnarray*}$ unten im Binomialkoeffizienten rechts? Bei einer Induktion über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ (ich nehme ja an, dass du das im Sinn hast) steht dort unten fest $\begin{eqnarray*} m+1 \end{eqnarray*}$ , und nix anderes!!!

01.05.2014, 13:48

kadoy

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ok schon gut also kommt unten m+1 hin

01.05.2014, 13:56

kadoy

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also ist der Schluss

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=m}^n \begin{pmatrix} k \\ m \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n+1 \\ m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+1 \\ m \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n+1 \\ m+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+2 \\ m+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

01.05.2014, 13:56

HAL 9000

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Ich versteh immer noch nicht, was du mit dieser unvollständigen Frage bezweckst. Wenn du den Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ vorhast, dann ist

Induktionsvoraussetzung: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=m}^n \binom{k}{m} = \binom{n+1}{m+1} \end{eqnarray*}$

Induktionsbehauptung: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=m}^{n+1} \binom{k}{m} = \binom{n+2}{m+1} \end{eqnarray*}$ .

Wenn du dagegen den Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} n-1\to n \end{eqnarray*}$ vorziehst, dann ist

Induktionsvoraussetzung: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=m}^{n-1} \binom{k}{m} = \binom{n}{m+1} \end{eqnarray*}$

Induktionsbehauptung: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=m}^n \binom{k}{m} = \binom{n+1}{m+1} \end{eqnarray*}$ .

Es ist also alles im Kontext zu betrachten, weswegen eine fragmentarische Aussage wie

Zitat:

Original von kadoy
na ja ob die IV

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=m}^{n+1} \begin{pmatrix} k \\ m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+2 \\ m+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist

schlicht nicht mit "ja" oder "nein" bewertet werden kann. unglücklich

01.05.2014, 14:04

kadoy

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na ja vllt verwechsel ich auch die Induktionsbehauptung mit der Induktionsvoraussetzung das was du Induktionsvoraussetzung nennst dachte ich sei die Induktionsannahme

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