Flächenmaß berechnen

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Dieter_45 Auf diesen Beitrag antworten »
Flächenmaß berechnen
Meine Frage:
Und das nächste Problem :-)

Gesucht ist die Fläche, welche von Gf(a) und Gg(a) eingeschlossen wird (in Abhängigkeit von a)

Zusatzfrage: Für welches a wird die Fläche maximal?

Meine Ideen:
Meine Vermutung wäre jetzt erst einmal, die beiden Graphen gleichzusetzen?


Besten Dank für die Hilfe :-)
Dieter_45 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich doch tatsächlich die Graphen vergessen :-)



Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

ja, setze die Gleichungen gleich.
Dieter_45 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann hätten wir:



Jetzt wahrscheinlich nach x auflösen:

Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

das stimmt soweit, ist aber noch nicht wirklich hilfreich smile
Den Term unter der Wurzel kann man noch vereinfachen. Bringe dazu den Nenner auf einen Bruch.
Dieter_45 Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst mit dem Kehrwert arbeiten?
 
 
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

ja, nachdem der Nenner gleichnamig gemacht wurde, den Doppelbruch auflösen.
Dieter_45 Auf diesen Beitrag antworten »



So, mit a² wurde als Hauptnenner gewählt und die Zähler auch erweitert.

Dann würde es jetzt heißen:

Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

nicht ganz, bei der Zusammenfassung der Brüche im Nenner ist ein Fehler



Jetzt kürzen und man hat es.
Dieter_45 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, dann bleibt stehen.

Wie würde es jetzt weitergehen?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, die Schnittpunkte sind .

Jetzt ist die Fläche zwischen beiden Kurven gesucht, also

Dieter_45 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann wäre das:



Spielt es eine Rolle, ob ich g(x) von f(x) abziehe oder f(x) von g(x) ?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du das ins Integral setzt, stimmts.

Es spielt eine Rolle, ob man f-g oder g-f rechnet in Bezug auf das Vorzeichen des Integrals. Der Betrag ist derselbe. Falls g im Integrationsbereich größer als f ist, wird das Integral positiv, falls f größer als g ist, wird das Integral negativ.
Dieter_45 Auf diesen Beitrag antworten »



Ich wollte beim Integralzeichen oben -a, aber der Formeleditor lässt mich irgendwie nicht :-)

Gehe ich recht in der Annahme, dass ich jetzt hieraus die Stammfunktion bilden muss?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

genau, die Stammfunktion ist zu bilden.
Man kann sich das Leben ein wenig vereinfachen, wenn man sieht, dass beide Funktionen achsensymmetrisch sind. Dann reicht es aus von 0 bis a zu integrieren und diesen Flächeninhalt im Anschluss zu verdoppeln.

Anm. das "-" beim Integral bekommt man, indem man die Grenze in {-a} setzt.
Dieter_45 Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist gerade aufgefallen, dass ich vorher die +1 vergessen habe :-)

Ab hier sollte es wieder stimmen:



(Vielen Dank für den Tipp mit -a , jetzt hat es funktioniert)
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

So kann man das nicht schreiben, denn im Integral steht jetzt die Stammfunktion.
Bei dieser sind die Vorzeichen verkehrt und die Grenzen vertauscht. Es sollte so aussehen:

Dieter_45 Auf diesen Beitrag antworten »

Okey, gut zu wissen mit der Schreibweise.

Wie würde es jetzt weitergehen?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt setzt man zunächst die obere Grenze, also a, in die Stammfunktion ein. Davon zieht man das ab, was man erhält, wenn man die untere Grenze in die Stammfunktion einsetzt.

Formal bildet man F(a)-F(-a), wobei F die Stammfunktion bezeichnet.

Edit: habe oben bei der Stammfunktion eine Verbesserung vorgenommen.
Dieter_45 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, zunächst einmal mit der oberen Grenze:

Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

das ist richtig eingesetzt, allerdings schreibt man das etwas anders auf. Unter der Annahme, dass du auch die untere Grenze richtig einsetzt, erhält man dieses:

.

Das nun ausrechnen und man hat die Lösung.
Dieter_45 Auf diesen Beitrag antworten »

Das darf aber jetzt nicht einfach gekürzt werden, sondern muss mit dem Hauptnenner noch einmal bearbeitet werden?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

bei den einzelnen Summanden kann man die "a"s kürzen. Es bleiben Summanden mit a und a² übrig. Diese dann zusammenfassen.
Dieter_45 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das kürzt sich doch nicht raus oder? Steht zweimal minus davor?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

ah, das meintest du mit kürzen?!



Ist das klar?
Bei den anderen Summanden geht das ähnlich.
Dieter_45 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bekomme ich als Lösung:

Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
Dieter_45 Auf diesen Beitrag antworten »

Tausend dank für deine Hilfe :-)

Da wär ich alleine niemals durchgekommen :-)
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne Wink
Dieter_45 Auf diesen Beitrag antworten »

Gott sei Dank gibt es solche Leute wie Euch :-)

Wink Wink
Dieter_45 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, wir haben was vergessen :-)

Die Zusatzfrage :-)
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