konkretes Beispiel zu Produkt sigma Algebra

01.05.2014, 17:44

Duude

konkretes Beispiel zu Produkt sigma Algebra

Hallo zusammen,

ich möchte gerne die Produktsigma-Algebra in einem konkreten Bsp bestimmen. Die Produkt-sigma-Algebra ist ja die kleinste sigma-Algebra, für die alle Projektionen messbar sind. Bei der Ausführung habe ich aber noch Probleme.

Sei also $\begin{eqnarray*} \Omega_1 \times \Omega_2= \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\} \end{eqnarray*}$

Die Projektionen seien
$\begin{eqnarray*} \pi_1: \Omega_1 \times \Omega_2 \rightarrow \Omega_1=\{1,2,3\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \pi_2: \Omega_1 \times \Omega_2 \rightarrow \Omega_2=\{1,2,3\} \end{eqnarray*}$

Jetzt zur Produkt-sigma-Algebra:
$\begin{eqnarray*} A=A_1 \times A_2 \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} A_1=P(\Omega_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_2 = P(\Omega_2)= \{1, 2, 3, \{1,2\}, \{2,3\}, \{1,3\}, \{1,2,3\}\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1 \times A_2 \end{eqnarray*}$ wird jetzt ziemlich groß, da stecken alle möglichen Kombinationen von $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ drin. Also

$\begin{eqnarray*} A_1 \times A_2 = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,\{1,2\}), (1, \{2,3\}), \ldots ,(\{1,2,3\}, \{1,2,3\})\} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

Und die Produkt-sigma-Algebra A wäre dann die kleinste, die ebendiese erzeugt, also
$\begin{eqnarray*} \sigma(A)=A_1 \times A_2 \end{eqnarray*}$

mache ich das richtig?
lg Duude

01.05.2014, 17:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Duude
$\begin{eqnarray*} A_2 = P(\Omega_2)= \{1, 2, 3, \{1,2\}, \{2,3\}, \{1,3\}, \{1,2,3\}\} \end{eqnarray*}$

Hier wird's schon unsauber: Das, was du hier genannt hast, ist keine Sigma-Algebra. unglücklich

Falls es deine Absicht war, hier die Potenzmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega_2 \end{eqnarray*}$ aufzulisten, die lautet

$\begin{eqnarray*} P(\Omega_2)= \{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{2,3\}, \{1,3\}, \{1,2,3\}\} \end{eqnarray*}$ .

(Von mir aus auch $\begin{eqnarray*} \{\} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ , je nachdem welche Schreibweise für die leere Menge du bevorzugst.)

Zitat:

Original von Duude
$\begin{eqnarray*} \sigma(A)=A_1 \times A_2 \end{eqnarray*}$

Das stimmt auch nicht:

$\begin{eqnarray*} A = A_1\times A_2 \end{eqnarray*}$ enthält genau $\begin{eqnarray*} 7^2+1 = 50 \end{eqnarray*}$ Elemente, während $\begin{eqnarray*} \sigma(A) \end{eqnarray*}$ insgesamt
$\begin{eqnarray*} 2^9 = 512 \end{eqnarray*}$ Elemente enthält.

01.05.2014, 18:05

Duude

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Hallo, vielen Dank für die schnelle Antwort.

Klar, die leere Menge muss ja immer drin liegen. Und in der Potenzmenge liegen ja immer nur Mengen, deshalb die Mengenklammern.

Dann ist das was du da geschrieben hast, die sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ (und $\begin{eqnarray*} A_2 \end{eqnarray*}$ ist ja dieselbe), denn im diskreten ist die sigma-Algebra ja keine Teilmenge sondern die gesamte Potenzmenge. $\begin{eqnarray*} P(\Omega) \end{eqnarray*}$ .

Dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} A_1 \times A_2 = \{ \emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{2,3\}, \{1,3\}, \{1,2,3\}, \ldots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \qquad \{1\} \times \{1\}, \{1\} \times \{2\}, \{1\} \times \{3\}, \{1\} \times \{\{1,2\}\}, \{1\} \times \{ \{2,3\}\}, \ldots ,\{\{1,2,3\}\} \times \{\{1,2,3\})\}\} \end{eqnarray*}$

die ersten 8 Elemente sind jeweils die, die mit der leeren Menge kombiniert wurden, danach habe ich jeweils die 1 aus der ersten $\begin{eqnarray*} P(\Omega_1) \end{eqnarray*}$ mit allen Elementen aus $\begin{eqnarray*} P(\Omega_2) \end{eqnarray*}$ kombiniert.

Ist das jetzt besser?

Könnte ich $\begin{eqnarray*} \{1\} \times \{1\}, \end{eqnarray*}$ z.B. noch so umschreiben:

$\begin{eqnarray*} \{1\} \times \{1\}= \{\{1\}, \{1\}\} \end{eqnarray*}$

01.05.2014, 18:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von Duude
$\begin{eqnarray*} A_1 \times A_2 = \{ \emptyset, {\color{red}\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{2,3\}, \{1,3\}, \{1,2,3\}}, \ldots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \qquad \{1\} \times \{1\}, \{1\} \times \{2\}, \{1\} \times \{3\}, \{1\} \times \{\{1,2\}\}, \{1\} \times \{ \{2,3\}\}, \ldots ,\{\{1,2,3\}\} \times \{\{1,2,3\})\}\} \end{eqnarray*}$

Die rot eingezeichneten Mengen sind nicht in $\begin{eqnarray*} A_1\times A_2 \end{eqnarray*}$ enthalten. unglücklich

Denn schon per definitionem sind alle Elemente von $\begin{eqnarray*} A_1 \times A_2 \end{eqnarray*}$ Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Omega_1 \times \Omega_2 \end{eqnarray*}$ , hier also Mengen von geordneten Paaren, nicht einfach Mengen von Zahlen.

01.05.2014, 18:48

Duude

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hmm, heißt das $\begin{eqnarray*} \emptyset \times \{1\}= \emptyset \end{eqnarray*}$ ?

Außerdem $\begin{eqnarray*} \{1\} \times \{1\}= (1,1) \end{eqnarray*}$ ? um geordnete Paare zu erhalten

und $\begin{eqnarray*} \{1\} \times \{1, 2\}= \{(1,1), (1,2)\} \end{eqnarray*}$ ?

So würde ich geordnete Paare erhalten, und dann wäre $\begin{eqnarray*} A_1 \times A_2 \end{eqnarray*}$ gerade die Menge alle geordneten Paare mit Einträgen 1 oder 2 oder 3 im ersten Eintrag und analog auch 1 oder 2 oder 3 im zweiten Eintrag.

Und ich müsste dann nur noch die kleiste Teilmenge finden, die das erzeugt.

01.05.2014, 18:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Duude
hmm, heißt das $\begin{eqnarray*} \emptyset \times \{1\}= \emptyset \end{eqnarray*}$ ?

Ja klar - das folgt direkt aus der Definition des kartesischen Produkts!

Auch die anderen beiden Beispiele von dir sind korrekt.

EDIT: Ok, "fast" korrekt - es ist $\begin{eqnarray*} \{1\} \times \{1\}= \{(1,1)\} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

01.05.2014, 21:58

Duude

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ok, damit ist

$\begin{eqnarray*} A_1 \times A_2 = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\} \end{eqnarray*}$

Bleibt die Frage welches A das kleinste ist, welche dies erzeugt, das ist ja gerade die Definition der Produkt-sigma-Algebra also $\begin{eqnarray*} \sigma(A)=A_1 \times A_2 \end{eqnarray*}$ ?

Also muss ich herausfinden, ob es möglich ist, Elemente hieraus zu streichen, indem ich sie z.B. als abz. Vereinigung oder Komplement von anderen erhalte.

Ich würde jetzt mal behaupten $\begin{eqnarray*} A=A_1 \times A_2 \end{eqnarray*}$ .

Bin mir aber gar nicht sicher, weil ich nicht wirklich sehe, wie ich hier Komplemente von zwei Elementen oder eine Vereinigung aussehen.

Denn was ist z.B. $\begin{eqnarray*} (3,3)/ (1,2) \end{eqnarray*}$ (das soll ohne heißen) oder $\begin{eqnarray*} (3,3) \cup (1,2) \end{eqnarray*}$ ?

01.05.2014, 22:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von Duude
ok, damit ist

$\begin{eqnarray*} A_1 \times A_2 = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\} \end{eqnarray*}$

NEIN!!! Das rechts ist $\begin{eqnarray*} \Omega_1\times \Omega_2 \end{eqnarray*}$ und als solches ein Element (!) von $\begin{eqnarray*} A_1 \times A_2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Duude
Ich würde jetzt mal behaupten $\begin{eqnarray*} A=A_1 \times A_2 \end{eqnarray*}$ .

Ich hatte gedacht, das wäre oben deine Definition von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gewesen, und $\begin{eqnarray*} \sigma(A) \end{eqnarray*}$ dann die davon induzierte Produkt-Sigma-Algebra? Da habe ich dich missverstanden. unglücklich

01.05.2014, 23:09

Duude

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hmm, jetzt bin ich auch etwas verwirrt...

Also nochmals, dass wir uns nicht missverstehen (das mit dem A war vllt unklar hingeschrieben):
Ich habe $\begin{eqnarray*} \Omega_1 \times \Omega_2= \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\} \end{eqnarray*}$ und möchte die zugehörige Produkt-sigma-Algebra finden.

meine Produkt-sigma-Algebra soll gerade die kleinste sein, für die die beiden Projektionen
$\begin{eqnarray*} \pi_1: \Omega_1 \times \Omega_2 \rightarrow \Omega_1=\{1,2,3\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \pi_2: \Omega_1 \times \Omega_2 \rightarrow \Omega_2=\{1,2,3\} \end{eqnarray*}$
messbar sind. Also die kleinste, die $\begin{eqnarray*} A_1 \times A_2= P(\Omega_1) \times P(\Omega_2) \end{eqnarray*}$ erzeugt. Ach, jetzt hab ichs... und da $\begin{eqnarray*} A_1 \times A_2 \end{eqnarray*}$ schon eine sigma-Algebra ist, bin ich praktisch fertig...

die Produkt-sigma-Algebra müsste die sein, die wie folgt erzuegt wird:
$\begin{eqnarray*} A = \sigma( \{(1,1)\}, \{(1,2)\}, \{(1,3)\}, \{(2,1)\}, \{(2,2)\},\{ (2,3)\}, \{(3,1)\}, \{(3,2)\}, \{(3,3)\}) \end{eqnarray*}$ .

Denn durch Vereinigungen der Mengen erhalte ich alle anderen endlichen Mengen, die in $\begin{eqnarray*} A_1 \times A_2 \end{eqnarray*}$ drinliegen. also z.b. $\begin{eqnarray*} \{(1,2)\}\cup \{(2,3)\}=\{(1,2), (2,3)\} \end{eqnarray*}$ Wenn ich gerade alle Mengen vereinige, erhalte ich $\begin{eqnarray*} \Omega_1 \times \Omega_2 \end{eqnarray*}$ was damit auch ein Element der Produkt-sigma-Algebra ist.

Weil mein Bsp ziemlich groß wird, habe ich gerade noch ein kleineres durchgerechnet.

[attach]34089[/attach]

Was sagst du dazu?

Ich hoffe, das passt jetzt und ich bin nicht komplett daneben...

01.05.2014, 23:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von Duude
und da $\begin{eqnarray*} A_1 \times A_2 \end{eqnarray*}$ schon eine sigma-Algebra ist

Ich beiß jetzt langsam in die Tastatur vor Verzweiflung: Dieses kartesische Produkt ist KEINE Sigma-Algebra, das hab ich nun schon zigmal (mehr oder weniger direkt) zu verstehen gegeben. böse

Z.B. hier:

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} A = A_1\times A_2 \end{eqnarray*}$ enthält genau $\begin{eqnarray*} 7^2+1 = 50 \end{eqnarray*}$ Elemente, während $\begin{eqnarray*} \sigma(A) \end{eqnarray*}$ insgesamt $\begin{eqnarray*} 2^9 = 512 \end{eqnarray*}$ Elemente enthält.

---------------------------------------------------

Machen wir es mal einfacher:

$\begin{eqnarray*} \Omega_1 = \Omega_2 = \{1,2\} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} A_1 = P(\Omega_1) = A_2 = P(\Omega_2) = \left\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\} \right\} \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} \Omega_1\times \Omega_2 = \{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1 \times A_2 &=& \left\{ \emptyset, \{(1,1)\}, \{(1,2)\}, \{(2,1)\}, \{(2,2)\}, \{(1,1), (1,2)\}, \{(2,1), (2,2)\}, \right. \\ && \left. \{(1,1), (2,1)\}, \{(1,2), (2,2)\}, \{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)\} \right\} \end{eqnarray*}$

aber $\begin{eqnarray*} \sigma(A_1 \times A_2) \end{eqnarray*}$ enthält nicht nur diese $\begin{eqnarray*} 3^2+1=10 \end{eqnarray*}$ , sondern alle $\begin{eqnarray*} 2^4=16 \end{eqnarray*}$ Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Omega_1\times \Omega_2 \end{eqnarray*}$ . Die 6 fehlenden Elemente sind

$\begin{eqnarray*} \{ (1,1), (2,2)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{ (1,2), (2,1)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{(1,1), (1,2), (2,1)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{(1,1), (1,2), (2,2)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{(1,1), (2,1), (2,2)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \{(1,2), (2,1), (2,2)\} \end{eqnarray*}$

02.05.2014, 00:14

Duude

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Also das kleine Beispiel ist besser.. viel übersichtlicher.
sorry, dass ich dich zur Verzweiflung bring und danke fürs schöne Aufschreiben.. Das bringt mir gerade wirklich viel, dass du mir hilfst.

Also klar ist jetzt, dass $\begin{eqnarray*} A_1 \times A_2 \end{eqnarray*}$ keine sigma-Algebra ist, aber davon eine sigma-Algebra erzeugt wird, nämlich $\begin{eqnarray*} \sigma(A_1 \times A_2) \end{eqnarray*}$ , welche gerade alle Vereinigungen und Komplemente von Mengen aus $\begin{eqnarray*} A_1 \times A_2 \end{eqnarray*}$ enthält. (auch die leere Menge, welche ich vergessen hatte)

Um nochmals sicher zu gehen hier die Definition aus unserem Skript: (ich bin mir nicht sicher, ob $\begin{eqnarray*} \sigma(A_1 \times A_2) \end{eqnarray*}$ wirklich die Produkt-sigma-Algebra ist, die ich suche.

[attach]34091[/attach]

meine Produkt-sigma-Algebra soll gerade die kleinste sein, für die die beiden Projektionen
$\begin{eqnarray*} \pi_1: \Omega_1 \times \Omega_2 \rightarrow \Omega_1=\{1,2\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \pi_2: \Omega_1 \times \Omega_2 \rightarrow \Omega_2=\{1,2\} \end{eqnarray*}$
messbar sind.

Eine Abbildung ist messbar, genau dann wenn für jedes messbare Bild, das Urbild messbar ist, also soll unsere Produkt-sigma-Algebra die kleinste sein, für die alle Elemente in $\begin{eqnarray*} \Omega_1 \times \Omega_2 \end{eqnarray*}$ messbar sind.

Also müssen z.B. $\begin{eqnarray*} \{(1,2)\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{(1,1)\} \end{eqnarray*}$ messber sein, also in der Produkt-sigma-Algebra liegen als Urbilder der ersten Projektion von der 1. Ebenso $\begin{eqnarray*} \{(2,2)\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{(2,1)\} \end{eqnarray*}$ als Urbilder der ersten Projektion von der 2. Innerhalb einer sigma-Algebra, darf man die Elemente vereinigen, also würde $\begin{eqnarray*} \{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)\} \end{eqnarray*}$ auch darin liegen. Dieses Element liegt aber nicht in $\begin{eqnarray*} \sigma(A_1 \times A_2) \end{eqnarray*}$

Insgesamt müssten in der so erzeugten sigma-Algebra doch 20 Elemente liegen (leere Menge, 1 Element der Art {(.,.),(.,.),(.,.),(.,.)} 8 Elemente der Art {(-,-), (-,-), (-,-)}, 6 Elemente der Art {(.,.),(.,.)} und 4 Elemente der Art {(.,.)}.

Also ich habe das alles verstanden, was wir bisher gemacht haben, bin mir aber nicht sicher, ob wir überhaupt das richtige berechnet haben.

02.05.2014, 00:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von Duude
Insgesamt müssten in der so erzeugten sigma-Algebra doch 20 Elemente liegen

Eins kannst du dir ein für allemal merken: Die Anzahl Elemente in einer endlichen Sigma-Algebra ist immer eine Zweierpotenz - das geht gar nicht anders.

Ansonsten bin ich jetzt langsam zu müde, auf die eine oder andere Ungereimtheit einzugehen, die mir schon wieder aufgefallen sind. Gute Nacht. Wink

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