Kugeln ziehen

01.05.2014, 21:51	MediMilk	Auf diesen Beitrag antworten »
Kugeln ziehen In einer Urne liegen 5 rote, 2 weiße, 7 blaue und 6 grüne Kugeln. Es wird ohne Zurücklegen gezogen, bis die Urne leer ist. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Eriegnisse: Im 10. Zug wird eine rote Kugel gezogen. 4 Also ich hatte mir bislang gedacht: $\begin{eqnarray} \frac{9!\cdot 1\cdot 10!}{20!} \end{eqnarray}$ Aber das wäre ja irgendwie quatsch. Also ich muss ja auch berücksichtigen wieviele Kugeln es von welcher farbe gibt oder nicht?
01.05.2014, 22:08	in_line	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, in einem ersten Schritt würde ich einmal alle anderen Kugeln als "weiße Kugeln" zusammenfassen. Welche Farbe (außer Rot) es ist, ist ja egal. Danach günstige / mögliche, wobei der Nenner mit 20! stimmt. Wie man den Zähler genau bestimmt, da bin ich auch noch ratlos. Eine Möglichkeit wäre es, per Brute-Force zunächst alle Fälle durchzugehen, wo du vor dem 10. Zug nur weiße ziehst, dann die Variante, wo du 1 rote ziehst (und wieder alle Fälle) usw. bis zu 4 roten. Aber da gibts sicher eine einfachere Lösung, vielleicht sieht die jemand anders
01.05.2014, 22:14	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde 5 Wahrscheinlichkeiten für k=9 , n=20 und R= Anzahl der gezogenen roten Kugeln bestimmen: 1.) p(R=0)=... 2.) p(R=1)=... 3.) p(R=2)=... 4.) p(R=3)=... 5.) p(R=4)=... Formal geht das mit hypergeometrischer Verteilung. der Baum hat jetzt 5 Knoten. Jetzt noch jeweils die Kante für R=1 anfügen.
01.05.2014, 22:24	in_line	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs nochmals per Brute-Force versucht. Ohne Garantie - könnte auch ein Denkfehler darin sein! Und zwar gehen wir alle "günstigen" Fälle durch. Betr. zunächst alle Fälle, wo du bis zur roten Kugel nur weisse ziehst. Da ergeben sich $\begin{eqnarray} 15 \ldots * 6 * 10! \end{eqnarray}$ Fälle, wenn ich nicht falsch liege, denn: Zuerst kannst du von 15 weissen irgendeine wählen (bishin zu 6 weißen). Danach bleiben dir noch 10 beliebige Kugeln übrig, die du irgendwie ziehst. Im nächsten Fall jetzt haben wir zunächst 16 zur Verfügung, da wir irgendwann schon eine rote ziehen dürfen. Danach bleiben uns (nach der 10.) wieder 10 beliebige Kugeln übrig, also $\begin{eqnarray} 16* \ldots * 7 * 10! \end{eqnarray}$ Analog weiter. Stimmt das so? Müsste jemand anders kontrollieren, könnte auch kompletter Stumpfsinn sein. Wenn mein Ansatz jedoch stimmt, kann man damit das Endergebnis schnell berechnen: $\begin{eqnarray} \frac{15!10!}{5!} + \frac{16!10!}{6!} + \frac{17!10!}{7!} + \frac{18!10!}{8!} + \frac{19!10!}{9!} \end{eqnarray*}$ wären dann alle günstigen Fälle. Das Ergebnis wäre dann ~90%. EDIT: Ist falsch, man muss im Fall "2 rote Kugeln" bis zu "5 rote Kugeln" sicherstellen, dass auch alle roten gezogen werden.
01.05.2014, 22:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Analog zu dem Thread mit einer ganz ähnlichen Thematik kann man global einfach rechnen: $\begin{eqnarray} \frac{5\cdot 19!}{20!} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ . D.h. man macht zunächst alle Kugeln unterscheidbar (auch die eigentlich gleichfarbigen), man hat also eine erste bis fünfte rote Kugel. Und jetzt zählt man die Permutationen, wo an 10.Stelle fix die k-te rote Kugel steht (k=1..5), das sind jeweils $\begin{eqnarray} 19! \end{eqnarray}$ .
01.05.2014, 22:54	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
man sollte immer die einfachste Lösung im Kopf haben! schön wär's Aber auch meine Rechnung liefert p=0.25
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