Primfaktorzerlegung |
01.05.2014, 22:11 | NGC1365 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Primfaktorzerlegung Hallo Ich wollte mal fragen, ob jemand erklären kann, wieso die Primzahlen einer Zahl multipliziert zusammen, wieder diese ergeben? Was ist das Gesetz dahinter? Liebe Grüße Meine Ideen: ... |
||||
01.05.2014, 22:17 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Frage verstehe ich nicht so ganz: Möchtest du wissen, wieso man jede natürliche Zahl größer 1 eindeutig (bis auf die Reihenfolge) in ein Produkt von Primzahlen zerlegen kann? |
||||
01.05.2014, 22:22 | NGC1365 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja genau, warum ist das so? |
||||
01.05.2014, 22:44 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erstmal zeigt man, dass jedes einen kleinsten Primteiler besitzt. Dazu betrachte die Menge . Jetzt überlegst du dir, warum M ein minimales Element besitzen muss und warum dieses der kleinste Primteiler von ist. Damit kann man jetzt zeigen, dass für eine eindeutige Primfaktorzerlegung (bis auf Reihenfolge der Faktoren) existiert. Existenz: besitzt einen kleinsten Primfaktor . Falls , sind wir fertig. Falls , dann ist und . Also wiederholt man diesen Schritt für und erhält den kleinsten Primteiler von usw. Jetzt musst du wieder überlegen, warum dieses Verfahren irgendwann stoppt, also warum für ein gilt . Eindeutigkeit: Nimm an, dass es zwei Primfaktorzerlegungen von gibt: und , wobei für alle , für alle , , , . Zeige jetzt, dass und für alle . |
||||
01.05.2014, 23:09 | NGC1365 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dankeschön Okay, das war ziemlich ausführlich, aber ich verstehe das nicht so ganz. Bis eben dachte ich, ich wäre gut in Mathe. Ich bin ziemlich deprimiert Gut, dass ich Mathe nur als 3tes Abifach gewählt habe, wer weiß was mich im LK erwartet hätte. Ich habe mir jetzt überlegt, warum das minimale Element von M der kleinste Primteiler von n sein muss. Und ich muss leider sagen, dass ich es nicht weiß. Kannst du es vielleicht ein bisschen anders erklären? Das wäre sehr lieb |
||||
01.05.2014, 23:39 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sag doch gleich, dass du Schüler bist. Aber ich kann dich beruhigen: So ein Beweis wird im Abitur nicht drankommen. Da geht es größtenteils ums Rechnen. M ist eine Menge von natürlichen Zahlen. Sie besitzt also ein minimales Element genau dann, wenn ist (das gilt aber nicht für beliebige Teilmengen der reellen Zahlen). Kannst du mir ein Element in M nennen? Denn dann wäre ja M nicht leer. |
||||
Anzeige | ||||
|
||||
02.05.2014, 12:41 | NGC1365 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du mir erst das erklären? Das wäre nett. M := {2, 3, 4, 6, 9, 12, 18} ist die Menge der nichttrivialen natürlichen Teiler der Zahl 36. Diese Menge ist bezüglich der Teilbarkeit partiell geordnet. Minimale Elemente sind 2 und 3, maximal sind 12 und 18. Es gibt kein kleinstes und kein größtes Element. Unter den ganzzahligen nichttrivialen Teilern von 36 sind 2,3,-2 und -3 minimal, während 12,18,-12 und -18 maximal sind. Warum sind denn 2 und 3 beide das minimale Element? Und beim maximalen Element 12 und 18? Wir sind ja beide fast gleich alt und du knallst hier sowas raus. Ich sollte mich begraben gehen |
||||
02.05.2014, 15:58 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In der Menge ist doch auf jeden Fall die Zahl n enthalten. Denn n|n und n>1. Deswegen ist die Menge M nicht leer und besitzt deswegen ein minimales Element . Dieses Element ist sogar der kleinste Primteiler von n. Begründung: Dass m ein Teiler von n ist, ist ja klar (die Menge M enthält sowieso nur Teiler von n). Dass m der kleinste Teiler von n ist, sollte auch klar sein. Jetzt müssen wir noch zeigen, dass m auch eine Primzahl ist. Angenommen, wäre keine Primzahl, dann gibt es ja eine Zahl , mit . Dann teilt b aber auch die Zahl n (weil ). Also ist dann . Wir hatten ja aber gesagt, dass . Und deswegen kann m nicht das minimale Element von M sein. Also ist das ein Widerspruch zu der Annahme, m wäre keine Primzahl und deswegen muss m eine Primzahl sein. Alles klar? Zu deinem Beispiel n=36: M ist nicht die Menge der nicht-trivialen Teiler von n, sondern die Menge der Teiler von n, die größer als 1 sind. D.h. die 36 selbst gehört auch mit zur Menge: . Und wieso sollten 2 und 3 das minimale Element von M sein? Das minimale Element ist hier 2 (einfach die kleinste Zahl in der Menge). Und das ist auch der kleinste Primteiler von 36. Das maximale Element ist 36.
Am Alter liegt das sicher nicht. Der Unterschied ist, dass du Schüler bist, während ich schon ein paar Semester Mathestudium hinter mir habe (bin jetzt im 4. Semester). Da ist es ganz normal, dass das für dich erstmal völlig unverständlich und ungewohnt aussieht. Also kein Grund zur Sorge. |
||||
03.05.2014, 14:58 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Menge ist ja durch Teilbarkeit partiell geordnet. Und bzgl. dieser Ordnung sind nunmal 2 und 3 beide minimal. (Die minimalen Elemente der nichttrivialen Teiler einer Zahl sind natürlich immer gerade die Primteiler). Selbes Argument für 12 und 18 bzgl. maximalen Elementen. |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |
|