Differentiale

01.05.2014, 22:21	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentiale Betrachten Sie die Funktion $\begin{eqnarray} u(x,y,z,t) = \frac 1 {(4 \pi Dt)^{\frac 3 2}} e^{- \frac{\|\vec r(x,y,z)\|^2}{4Dt}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|\vec r(x,y,z)\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} u(x,y,z,t) \end{eqnarray}$ die Beziehung $\begin{eqnarray} \frac{\partial u(x,y,z,t)}{\partial t} - D \Delta u(x,y,z,t) = 0 \end{eqnarray}$ erfüllt. Mit $\begin{eqnarray} \Delta = \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} \end{eqnarray}$ Ich versteh überhaupt nicht die Fragestellung.. könnte das jemand "für Blöde" kurz erklären was ich machen muss?
01.05.2014, 22:37	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Du Du sollst zeigen, dass die Gleichung $\begin{eqnarray} \frac{\partial u(x,y,z,t)}{\partial t} - D \Delta u(x,y,z,t) = 0 \end{eqnarray}$ für die gegebene Funktion $\begin{eqnarray} u = u(x,y,z,t) \end{eqnarray}$ richtig ist, dass also, wenn du die Funktion bzw. deren Ableitung da einsetzt, dass dann eine wahre Aussage entsteht. Das Symbol $\begin{eqnarray} \Delta \end{eqnarray}$ wurde ja definiert. Nun musst du die Funktion nur noch ableiten und entsprechend einsetzten, dann vereinfachen und sehen ob die Gleichung gilt. Siehe auch: Wärmeleitungsgleichung Grüße.
01.05.2014, 22:58	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach soooo. Vor lauter Symbolik habe ich wohl etwas den Überblick verloren. Aber die Definition von $\begin{eqnarray} \Delta \end{eqnarray}$ habe ich noch nicht ganz verstanden, ich versuchs mal, $\begin{eqnarray} \Delta \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} \Delta = \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} \end{eqnarray}$ Somit ist $\begin{eqnarray} \Delta u(x,y,z,t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Delta u(x,y,z,t) = \frac{\partial^2 u }{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_3^2} \end{eqnarray}$ Oh man, das werden aber Monsterausdrücke. $\begin{eqnarray} \Delta u(x,y,z,t) = \frac{\partial^2 }{\partial x_1^2} (\frac 1 {(4 \pi Dt)^{\frac 3 2}} e^{- \frac{\|\vec r(x,y,z)\|^2}{4Dt}}) + \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} (\frac 1 {(4 \pi Dt)^{\frac 3 2}} e^{- \frac{\|\vec r(x,y,z)\|^2}{4Dt}}) + \frac{\partial^2 u}{\partial x_3^2} (\frac 1 {(4 \pi Dt)^{\frac 3 2}} e^{- \frac{\|\vec r(x,y,z)\|^2}{4Dt}}) \end{eqnarray}$ Mit: $\begin{eqnarray} \|\vec r(x,y,z)\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Delta u(x,y,z,t) = \frac{\partial^2 }{\partial x_1^2} \big(\frac 1 {(4 \pi Dt)^{\frac 3 2}} e^{- \frac{x^2+y^2+z^2}{4Dt}} \big) + \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} (\frac 1 {(4 \pi Dt)^{\frac 3 2}} e^{- \frac{x^2+y^2+z^2}{4Dt}}) + \frac{\partial^2 u}{\partial x_3^2} (\frac 1 {(4 \pi Dt)^{\frac 3 2}} e^{- \frac{x^2+y^2+z^2}{4Dt}}) \end{eqnarray}$ Stimmt das bis hierhin? Und jetzt muss ich jeden Term zweimal partiell nach x ableiten, das war's?
02.05.2014, 08:39	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja richtig, du muss die zweiten, partiellen Ableitungen bilden. $\begin{eqnarray} x_1,x_2,x_3 \end{eqnarray}$ sind hier allerdings die Raumdimensionen $\begin{eqnarray} x, \; y, \; z\; \end{eqnarray}$ das passte nur nicht in die Summendefinition von $\begin{eqnarray} \Delta \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \frac{\partial^2 u }{\partial x ^2}=\frac{\partial }{\partial x}\!\left(\frac{\partial }{\partial x}u\right) \end{eqnarray}$ ist beispielsweise die zweite partielle Ableitung nach x. Grüße
04.05.2014, 02:48	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, okay den Rest schaffe ich auch alleine. Danke sehr!!!

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