Bedeutung von Folgen

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allforone Auf diesen Beitrag antworten »
Bedeutung von Folgen
Meine Frage:
Hallo,

ich habe so meine Probleme mit dem Sinn von Folgen.

Wir haben erst recht lange in der Uni Folgen behandelt und sind dann schwups von einer Folie zur nächsten zu Funktionen gekommen. Seitdem machen wir hier mit Stetigkeit und jetzt dann Differenzierbarkeit rum.
Alles so weit, so interessant.

Eine Folge ist eine spezielle Abbildung/Funktion von N nach R.
Eine Funktion ist eine allgemeine Abbildung und bei uns meist von R nach R.

Dann viel mal ein Satz, den ich auch nicht verstanden habe.
Wir haben eine Folge xn und geben die in eine Funktion f(x) dann entsteht eine neue Folge. Jedes Folgenglied ist aber nicht mehr Teil von N, sondern vielleicht nur Teil von R\N. Mir erschließt sich das noch nicht wirklich.
Vielleicht ist es quasi so gemeint: N -> R -> R sind die Schritte die quasi geschehen, wenn ich xn in f(x) einsetze. Dann kann man auch wieder sagen N -> R, in dem man das mittlere R weglässt.

Kann man sich aus Folgen Funktionen herleiten?
Vielleicht braucht man sie auch, um Sachen wie das Stetigkeitskriterium herzuleiten oder so. Nunja ich habe eigentlich keine Ahnung ;D

Nunja ich verstehe einfach den Sinn von Folgen nicht so richtig.
Ich hoffe ihr könnt hier für etwas Erhellung sorgen.

Meine Ideen:
Steht oben
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

deine Angaben sind mir noch nicht ganz klar. Offenbar ist dir bekannt, dass eine Folge jedem ein zuordnet, dabei kann eine beliebige Menge sein, etwa oder auch .

Du schränkst auf ein.
Bestimmt habt ihr Folgen auf Konvergenz untersucht, richtig?
Wenn jetzt eine Folge ist und eine Abbildung, dann kann man doch natürlich auch die Folge betrachten.
Zitat:
Jedes Folgenglied ist aber nicht mehr Teil von N, sondern vielleicht nur Teil von R\N.

Es ist aber weiter .

Zitat:
Kann man sich aus Folgen Funktionen herleiten?

Was soll das bedeuten?
Du kannst Funktion durch Folgen auf Stetigkeit untersuchen. Es ist nämlich stetig in einem genau dann, wenn für jede Folge mit gilt: .
Ähnlich kann man auch Differenzierbarkeit definieren.

Zitat:
Vielleicht braucht man sie auch, um Sachen wie das Stetigkeitskriterium herzuleiten oder so

Sie sind zumindest sehr nützlich.
 
 
allforone Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Problem oben:
Ich versuche oftmals unnötiger Weise alles auf eine Art Urform zurückzuführen. In dem Fall wollte ich alles (Funktionen, Reihen, Definitionen in der Analysis) auf die Folgen zurückführen. Ich denke den groben Zusammenhang habe ich verstanden, sodass es zum Rechnen reicht. Manchmal haben die Dinge keinen direkten Zusammenhang bzw. eine Beziehung ist zwar da, aber eben nicht so tief, wie ich mir es wünsche.

Genug zu den Folgen, ich habe eine Anfängerfrage zum Thema Stetigkeit.

Stetigkeit kann man ja über mind. zwei Varianten definieren.

1. Variante über Epsilon/Delta
2. Variante mit Grenzwert (Grenzwertdefinition hängt mit Folgen zusammen)

Zur 2. Variante:
Wenn der Grenzwert der Funktion von x nach x0 = f(x0) ist.
Der Grenzwert einer Funktion ist dann wiederum mit der Geschichte mit den Folgen definiert.




Mein Problem liegt jetzt beim Differentialquotient.




Wenn ich den Differentialquotienten bilde und ein Grenzwert entsteht, ist die Funktion ja automatisch stetig, da diffbar >stetig. Wenn ich die Definition der Stetigkeit jetzt mit einbaue passiert das hier:



Der Gedankengang ist sicher falsch nur an welcher Stelle und wie kann man sauber begründen, dass er falsch ist. Ich habe ja einfach nur die Stetigkeitsdefinition eingesetzt.

Vielen Dank für eure Antworten!
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von allforone

Wer sagt denn, dass diese Grenzwerte überhaupt existieren? Was da z.B. passieren kann, ist, dass da sowas undefiniertes wie



steht. Und was du dann machst, ist



hinzuschreiben - das geht natürlich nicht. Bzw. man zieht einen existenten Grenzwertr in zwei nicht existente auseinander.

Das ist ja auch in den dir bekannten Grenzwertsätzen verankert. Damit man Summen/Produkte etc. von Grenzwerten bilden kann, müssen die einzelnen Grenzwerte erst einmal allesamt existieren. Das ist hier nicht gegeben.

Grenzwertsätze

Ich wäre übrigens auch äußerst vorsichtig mit diesem "teilweise Grenzwert bilden". Du setzt da jetzt im Zähler schon vorab ein, im Nenner jedoch nicht. Sowas kann in manchen Beispielen zu vollkommen falschen Resultaten führen
allforone Auf diesen Beitrag antworten »

Mulder vielen Dank. Deine Antwort ist sehr hilfreich.

Zitat:
Ich wäre übrigens auch äußerst vorsichtig mit diesem "teilweise Grenzwert bilden". Du setzt da jetzt im Zähler schon vorab ein, im Nenner jedoch nicht. Sowas kann in manchen Beispielen zu vollkommen falschen Resultaten führen


Das ist sehr interessant, ist mir selber gar nicht aufgefallen. Dadurch wird das natürlich Murx.
Dann wäre mir auch aufgefallen, dass ich durch 0 teile und so der Grenzwert nicht unbedingt exitieren muss. Er kann aber auch existieren, wenn man durch 0 teilt, wenn die Nullstelle vom Zähler gleichzeitig eine Nullstelle vom Nenner ist. Man also über umformen, die 0 "rauskürzen" kann? Also könnte auch, wenn dort eine 0 im Nenner steht immer noch ein echter Grenzwert rauskommen, wie du ja auch in deinem Beitrag angedeutet hast.

Die Grenzwertsätze gelten also nicht umgekehrt. Ich kann einen echten Grenzwert nicht einfach zerlegen und es kommen wieder echte Grenzwerte raus.
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von allforone



@allforone: Ergänzung zur Antwort von Mulder: Du darfst den Limes nur dann in eine Summe (oder ein Produkt) reinziehen, wenn der Grenzwert der Summandenfolgen (bzw. Faktorfolgen) existiert (und das meint, dass der Grenzwert reell und nicht +/- unendlich ist). Das ist dann auch der Fehler der obigen Umformung.
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedeutung von Folgen; Verständnisproblem
Zitat:
Original von allforone
Kann man sich aus Folgen Funktionen herleiten?


Nein, aber du kannst eine reelle Folge als Funktion auffassen. Siehe diese Seite über Folgen.

Die Folge ist dann nichts anderes als eine Komposition von Funktionen, nämlich .

Zitat:

Nunja ich verstehe einfach den Sinn von Folgen nicht so richtig.
Ich hoffe ihr könnt hier für etwas Erhellung sorgen.


Der Grenzwert wird über Folgen definiert. Viele wichtigen Begriffe der Analysis wie Stetigkeit, Ableitung oder der Grenzwert von Funktionen wird auf den Grenzwertbegriff von Folgen zurückgeführt. Deswegen sind Folgen (oder vielmehr der Grenzwertbegriff von Folgen) so wichtig für die Analysis.
allforone Auf diesen Beitrag antworten »

Jungs Topleistung! Ich bekomme langsam Zugang zur Analysis.
Allerdings muss ich beim Grenzwertbetrachtung, bzw. Grenzübergang nochmal nachhaken.

Zwei Beispiele:
(Gleicheitszeichen müsste ein Pfeil sein)

Hier setzen wir für das x nicht 0 ein, weil man durch 0 nicht teilen darf. Auf dem Papier würde ich es eingreisen und sagen "geht gegen unendlich". Damit ist der Grenzwert bestimmt.



Hier setzen wir für das x direkt 0 ein. Obwohl sich das x der 0 ja nur ganz nah annähert, aber nie diesen Wert erreichen wird. Wieso können wir sie einmal einsetzen und uns so das Leben erleichtern und einmal extra sagen wir setzen sie ein, sie ist aber nie genau der Wert und erleichtern uns so wieder.


Oftmals wird relativ salop einfach der "allgemeine Grenzwert" untersucht (wie ich es oben auch gemacht habe) ohne beide Grenzwerte zu betrachten. Hier müsste nach Prüfung des links- und des rechtsseitgen Grenzwertes sagen: "Es existiert kein Grenzwert" oder?

Zum Beispiel von oben:
für x>0
für x<0
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

(Gleicheitszeichen müsste ein Pfeil sein)


Nein, hier muss ein Gleichheitszeichen stehen! Es gibt prinzipiell zwei Schreibweisen, nämlich:

1) (hier steht ein Gleichheitszeichen)
2) (hier wird der Pfeil verwendet)

Beachte, wann das Gleichheitszeichen und wann der Pfeil verwendet wird.

Zitat:

(Gleicheitszeichen müsste ein Pfeil sein)


Beachte, dass ist (wie du ja auch schon festgestellt hast). Denn es ist




Der links- und rechtsseitige Grenzwert stimmen nicht überein.

Zitat:
Original von allforone
Zwei Beispiele:
(Gleicheitszeichen müsste ein Pfeil sein)

Hier setzen wir für das x nicht 0 ein, weil man durch 0 nicht teilen darf. Auf dem Papier würde ich es eingreisen und sagen "geht gegen unendlich". Damit ist der Grenzwert bestimmt.



Hier setzen wir für das x direkt 0 ein. Obwohl sich das x der 0 ja nur ganz nah annähert, aber nie diesen Wert erreichen wird. Wieso können wir sie einmal einsetzen und uns so das Leben erleichtern und einmal extra sagen wir setzen sie ein, sie ist aber nie genau der Wert und erleichtern uns so wieder.


Du solltest dir diese Seite zum Grenzwert durchlesen (Wenn du dazu Verständnisfragen hast, kannst mich gerne hier ansprechen. Bin nämlich der Autor des Kapitels Augenzwinkern )

Generell: Du kannst in deswegen den Limes reinziehen, weil die Funktion an der Stelle stetig ist. Das ist auch der Grund, warum du Stetigkeit von Funktionen in der Analysis untersuchst. Es ist nämlich eine Funktion f an der Stelle a genau dann stetig, wenn du den Limes reinziehen kannst, wenn also ist.

Zitat:

Oftmals wird relativ salop einfach der "allgemeine Grenzwert" untersucht (wie ich es oben auch gemacht habe) ohne beide Grenzwerte zu betrachten. Hier müsste nach Prüfung des links- und des rechtsseitgen Grenzwertes sagen: "Es existiert kein Grenzwert" oder?

Zum Beispiel von oben:
für x>0
für x<0


Richtig, existiert nicht! Augenzwinkern Generell: Ein Grenzwert existiert nur, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Stephan Kulla
Zitat:

Oftmals wird relativ salop einfach der "allgemeine Grenzwert" untersucht (wie ich es oben auch gemacht habe) ohne beide Grenzwerte zu betrachten. Hier müsste nach Prüfung des links- und des rechtsseitgen Grenzwertes sagen: "Es existiert kein Grenzwert" oder?

Zum Beispiel von oben:
für x>0
für x<0


Richtig, existiert nicht! Augenzwinkern Generell: Ein Grenzwert existiert nur, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.


Streng genommen existiert auch dann kein Grenzwert, wenn links- und rechtsseitiger "Grenzwert" ist. Man spricht dann von "Divergenz" oder "uneigentlichem Grenzwert". Genaueres hier.
allforone Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich stoße leider immer wieder auf Ungereimtheiten im Bezug auf Begriffe der Analysis.

Ich soll bei folgender Aufgabe heruasfinden, für welche Parameter die Funktion stetig differenzierbar ist.

für x<0 für x>=0

Jetzt muss sie ja erst differenzierbar sein und dann die abgeleitet Funktion nochmal stetig.

Wie kann man hier die Bedingung der Differenzierbarkeit in eine Gleichung packen?

Ich komme zu dem richtigen Ergebnis, wenn als erstes Versuche die Funktion f(x) auf dem ganzen bereich stetig zu machen. Dann beide Teilfunktionen ableite und diese neue f'(x) dann auch wieder stetig mache. Dadurch hat man dann 2 Gleichungen mit zwei Unbekannten und es passt.

Aber eigentlich reicht es ja nicht aus, wenn ich die erste Funktion f(x) nur stetig mache. Deswegen muss sie ja noch nicht diffbar sein. Auch wenn ich die Ableitungsregeln erfolgreich anwenden kann, heißt es ja noch nicht, dass die Funktion diffbar ist oder?
Wie könnte man hier die Parameter wählen, dass die Funktion diffbar ist aber nicht stetig diffbar?



Ich muss für eine wirkliche Überprüfung immer den Differntialquotient von beiden Seiten bilden.
Gibt es Wege schneller heruaszufinden, ob eine Funktion diffbar ist?

Ähnliches problem bei l'Hopital. Ich kann ihn nur anwenden, wenn der Grenzwert aus dem Quotienten der Ableitungen existiert. Hier prüft wieder keiner, ob die Funktion wirklich diffbar ist, sondern wendet einfach die Ableitungsregeln an. Wenn ich da jedes Mal mit dem Differentialquotienten von links und von rechts komme, bräuchte ich ewig für die Aufgaben...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Beide Teilfunktionen sind stetig und und sogar stetig differenzierbar, wenn sie in ihrem gesamten möglichen Definitionsbereich definiert wären, d.h. auf ganz . Das darfst du voraussetzen.

Die Funktion f(x) kann also höchstens an der Stelle x=0 nicht stetig und nicht differenzierbar sein. Da musst du dann auch Grenzwerte von beiden Seiten betrachten. Die Werte und Ableitungen der Teilfunktionen müssen an der Stelle x=0 übereinstimmen, dann ist die Funktion auch an dieser Stelle stetig differenzierbar.
allforone Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Beide Teilfunktionen sind stetig und und sogar stetig differenzierbar, wenn sie in ihrem gesamten möglichen Definitionsbereich definiert wären, d.h. auf ganz &#8477;. Das darfst du voraussetzen.


Würde ich das immer voraussetzen und mir zum Beispiel die Betragsfunktion aus zwei Teilfunktionen zusammensetze, dann kann ich die stetig machen, sie ist aber noch nicht diffbar. Ist die Aussage wirklich so allgemeingültig von dir?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt hier eine Betragsfunktion vor? Nein. Bei Betragsfunktionen muss man natürlich genau gucken, wo die Nullstellen sind und die entsprechend behandeln.
allforone Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Beide Teilfunktionen sind stetig und und sogar stetig differenzierbar, wenn sie in ihrem gesamten möglichen Definitionsbereich definiert wären, d.h. auf ganz &#8477;. Das darfst du voraussetzen. Die Funktion f(x) kann also höchstens an der Stelle x=0 nicht stetig und nicht differenzierbar sein. Da musst du dann auch Grenzwerte von beiden Seiten betrachten. Die Werte und Ableitungen der Teilfunktionen müssen an der Stelle x=0 übereinstimmen, dann ist die Funktion auch an dieser Stelle stetig differenzierbar.



Nochmal zu deinem Beitrag. Beide Teilfunktionen sind stetig, das kann man sehen okay. Dass sie diffbar und sogar stetig diffbar sind geht auch noch in Ordnung für die Teilfunktionen.
Die Funktion kann also höchstens bei x=0 nicht stetig und nicht diffbar sein. Das verstehe ich auch. Jetzt kann ich eine Gleichung aufstellen für die Steigkeit von f(x) in dem Punkt.
Wenn sie dort stetig ist, heißt es aber noch nicht, dass sie dort auch diffbar ist.
Dann leite ich beide ab und erhalte f'(x).
Jetzt stelle ich eine zweite Gleichung für die Stetigkeit fvon f'x) auf und habe so zwei Gleichungen und kann es lösen.

Zu keinem Zeitpunkt habe ich aber gezeigt, dass f'(x) in x=0 überhaupt existiert.
f'(x) kann für beide Teilfunktionen existieren aber für x=0 müsste ich es doch explizit zeigen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von allforone

Zu keinem Zeitpunkt habe ich aber gezeigt, dass f'(x) in x=0 überhaupt existiert.
f'(x) kann für beide Teilfunktionen existieren aber für x=0 müsste ich es doch explizit zeigen?


Es geht nicht nur um die Existenz der links- und rechtsseitigen Ableitung, die müssen auch gleich sein. Dann existiert qua definitionem aber auch die Ableitung im Punkt x=0, da du die Parameter schon so gewählt hast, dass die Funktion dort stetig ist. Du hast ja hier nicht so einen pathologischen Fall wie dort.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dieser Art Fragestellung verweise ich immer gerne auf diese Übersicht.
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von allforone
Ich komme zu dem richtigen Ergebnis, wenn als erstes Versuche die Funktion f(x) auf dem ganzen bereich stetig zu machen. Dann beide Teilfunktionen ableite und diese neue f'(x) dann auch wieder stetig mache. Dadurch hat man dann 2 Gleichungen mit zwei Unbekannten und es passt.


Du kannst Funktionen nicht stetig machen. Sie sind entweder stetig oder nicht. Bessere Ausdrucksweise: „Parameter finden, so dass stetig ist“.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke er meint damit die Anpassung der Parameter a und b, damit die Funktion im Punkt x=0 stetig und stetig diff.bar wird.
Stephan Kulla Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Ich denke er meint damit die Anpassung der Parameter a und b, damit die Funktion im Punkt x=0 stetig und stetig diff.bar wird.


Danke!
allforone Auf diesen Beitrag antworten »

exakt die Anpassung der Parameter war gemeint.

Es haben sich neue Probleme ergeben.

Geometrische Deutung der partiellen Ableitung und der totalen Ableitung

Meiner Meinung nach:

Partielle Ableitung
Die Partielle Ableitung liefert einen Vektor, der in die Richtung des steilsten Anstiegs zeigt.
Die Länge des Vektors gibt die "Steilheit" an. Mit diesem Vektor und dem Punkt erhält man eine Tangente.

Totale Ableitung
Hier fließen alle partiellen Ableitungen mit rein. Die totale Ableitung gibt ein Matrix/Vektor aus, der zusammen mit einem Punkt eine Tangentialebene bildet. Diese zeigt wieder in die steilste Richtung.

Das ist noch etwas unrund....


Reihe <=> Funktion

Wenn in der Formelsammlung fertige Reihen zu sehen sind steht dahinter immer etwas wie Funktion = Reihe für x<1. Das die Reihe die Funktion darstellt muss die Reihe konvergieren und das Restglied für n gegen unendlich gegen 0 gehen. Zeigt das x<1 den Konvergenzradius an oder schon die Schnittmenge aus Konvergenzradius + Teilmenge des Konvergenzradius in dem das Restglied 0 wird. Das Restglied kann ja für eine Teilmenge des Konvergenzradius gegen 0 gehen und für einen Teil nicht. Wie ist das da gemeint?


Cauchy-Produkt auflösen

Ich habe zum Beispiel [latex]\cos^{2} (x) [\latex].
Hier möchte ich jetzt die passende Reihe bestimmen. Ich könnte die Ableitungen berechnen und dann eine Regelmäßigkeit feststellen. Da bin ich leider kein Experte und sehe es oftmals nicht.
Dann könnte ich Additionstheoreme benutzen. Da finde ich nicht immer die richtigen. Über das Cauchy-Produkt müsste ich relativ allgemeingültig unterwegs sein. Das hilft einen in solchen Situationen öfter. Ich schaffe es nur nicht, aus den zwei Summenzeichen eins zu machen.

\cos^{2} (x)= (\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n})^{2} = ?

Hier habe ich zum einen das Problem, dass x^{2n} die Form noch vorkommt und nicht x^{n} . Zum anderen, sind bei anderen Cauchy-Beispielen immer zwei verschiedene Laufvariablen vorhanden. Hier hätte ich zwei Mal n.

Ableitung nur im offenen Intervall
Ich kann doch nur sagen die Funktion f(x) ist im offenen Intervall z.B. (-1;1) differenzierbar. Das geschlossene oder halboffene Intervall [-1;1)/[-1;1] funktioniert nicht, da hier der linksseitige Grenzwert nicht mehr dem rechtsseitigen Grenzwert entsprechen kann, weil der Rand verhindert, dass es einen linksseitigen Grenzwert gibt. Mit der Stetigkeit müsste es dasselbe sein. Ist die Überlegung richtig?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest mal einen ganz neuen Thread aufmachen. Dies ist jetzt das 3. Problem in diesem Thread. Langsam wird's unübersichtlich. Zudem behandelst du jetzt offenbar Differentiation über mehrdimensionalen Defintionsbereichen, wenn ich deine Einlassungen über partielle Ableitung im richtigen Kontext einordne.
allforone Auf diesen Beitrag antworten »

ja okay, du hast recht. Das driftet zu sehr ab.
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