Skalarprodukt mittels Funktionen

02.05.2014, 00:51

Kreis

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Skalarprodukt mittels Funktionen

Frage:

" $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ sei die Menge der symmetrischen, quadratintegrablen Funktionen über dem Intervall [ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ].
D.h. eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist auf [ $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ] definiert, erfüllt $\begin{eqnarray*} f(x)=f(-x) \end{eqnarray*}$ und das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{- \pi} ^\pi \! \vert{f(x)^2}\vert \, \dd x \end{eqnarray*}$ existiert.

Mit Vektoraddition und Skalarmultiplikation gegeben durch
$\begin{eqnarray*} (f+g)(x):=f(x)+g(x) \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} (\lambda f)(x):= \lambda f(x) \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} (f,g \in V. \lambda \in R) \end{eqnarray*}$ bildet $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ einen Vektorraum.

Ein Skalarprodukt definiert durch $\begin{eqnarray*} f \cdot g:=\int_{- \pi} ^\pi \! {f(x)g(x)} \, \dd x \end{eqnarray*}$ macht V dann zu einem euklidischen Vektorraum.

a)Wie lauten die drei Eigenschaften eines Skalarproduktes?

b) Zeigen Sie, dass das oben definierte Produkt diese drei Eigenschaften erfüllt."

Ansatz:
a) Biliniearität, Symmetrie und das es positiv definiert ist. (Abbildung von VxV--->R)

b) Eigentlich keinen. Denn irgendwie kommt mir das alles schon deutlich definiert vor...

02.05.2014, 01:08

bijektion

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a) Sollte doch passen.

b)

Zitat:

Denn irgendwie kommt mir das alles schon deutlich definiert vor...

Du sollst hier nichts definieren, sondern nur nachrechnen. Was bedeutet denn Bilinearität?
Die positive Definitheit kannst du ja schnell nachrechnen, denn $\begin{eqnarray*} f \cdot f =\int_{- \pi} ^\pi \! {f(x)f(x)} \, \dd x \int_{- \pi} ^\pi \! {f^2(x)} \, \dd x \end{eqnarray*}$ , musst du nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \cdot f >0 \end{eqnarray*}$ gilt.

02.05.2014, 01:21

Kreis

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Wie zeige ich denn dass $\begin{eqnarray*} f \cdot f > 0 \end{eqnarray*}$ . Ist doch irgendwie trivial, oder?

Zitat:

Original von bijektion
Was bedeutet denn Bilinearität?

$\begin{eqnarray*} \left< x| \lambda y+ \mu z \right> = \lambda \left< x |y \right> + \mu \left< x | z \right> \end{eqnarray*}$

Und Symmetrie? Also $\begin{eqnarray*} \left< x | y \right> =\left< y | x \right> \end{eqnarray*}$

02.05.2014, 01:30

bijektion

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Da ja $\begin{eqnarray*} f \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} f^2>0 \end{eqnarray*}$ und somit ist auch $\begin{eqnarray*} f \cdot f >0 \end{eqnarray*}$ smile

smile

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left< x| \lambda y+ \mu z \right> = \lambda \left< x |y \right> + \mu \left< x | z \right> \end{eqnarray*}$ Und Symmetrie? Also $\begin{eqnarray*} \left< x | y \right> =\left< y | x \right> \end{eqnarray*}$

Richtig, nutze die Linearität des Integrals.

02.05.2014, 01:36

Kreis

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Zitat:

Original von bijektion
Richtig, nutze die Linearität des Integrals.

O.O Müsste ich dann nicht erst beweisen, dass das Integral Linear ist???.... traurig

traurig

02.05.2014, 08:34

Kreis

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Ich könnte doch zeigen, dass die herkömliche Ableitung linear ist und dann sagen, dass aufgrund des Hauptsatzes der Integral und differentialrechnug dies auch für das Integral gelten muss, oder?

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02.05.2014, 09:37

bijektion

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Habt ihr den nie gezeigt, dass Linearität gilt?

02.05.2014, 10:09

kreis

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Leider nicht.. ...

02.05.2014, 10:19

bijektion

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Dann müsstest du das ja schon fast mit Unter- und Obersummen zeigen.
Ich denke aber nicht, dass das hier gefordert wird. Fang doch erstmal an, dann können wir an gegebener Stelle schauen, ob das noch anders zu lösen ist.

02.05.2014, 10:42

kreis

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Ich hab es versucht.... kann es aber nicht... irgendwie kann ich keine vernüftige Aussage machen bevor ich nicht zeige dass das Integral linear ist. verwirrt

verwirrt

02.05.2014, 10:59

bijektion

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Kannst du denn b) lösen, wenn du einfach mal Linearität benutzt?
Dann ist das nämlich schonmal geschafft und man kann sich der Linearität widmen.

02.05.2014, 11:43

Kreis

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Darf ich ausnahmsweise zwei links posten mit meiinen Bildern in denen ich meine Versuche schildere?

02.05.2014, 12:06

bijektion

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Du kannst die Bilder einfach direkt deinen Post einbinden smile

smile

02.05.2014, 12:14

Kreis

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Mercie

smile

02.05.2014, 12:15

Kreis

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[attach]34095[/attach]

02.05.2014, 13:05

bijektion

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Wenn ich das richtig sehe sollte das so passen Freude

Freude

02.05.2014, 13:17

Kreis

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Gut!

smile

Aber, aber, aber...... darf ich dass so machen. Ich meine nur hehe (grins) ich gehe einfach mal so davon aus, dass das Integral linear ist, d.h. die Aufgabe wird damit irgendwie auf null reduziert, oder nicht?

02.05.2014, 13:23

bijektion

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Mich wundert das ihr nicht bewiesen habt, dass das Integral linear ist.
Ich meine du kannst das natürlich noch per Hand machen, aber das scheint mir hier nicht gefordert zu sein.
Zu welcher Vorlesung wurde die Aufgabe denn gestellt? Vielleicht geht es hier auch nur darum, die Begrifflichkeiten zu klären smile

smile

02.05.2014, 13:27

Kreis

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Zitat:

Original von bijektion
Mich wundert das ihr nicht bewiesen habt, dass das Integral linear ist.

Physiker...

Zitat:

Original von bijektion
Zu welcher Vorlesung wurde die Aufgabe denn gestellt? Vielleicht geht es hier auch nur darum, die Begrifflichkeiten zu klären smile

smile

Sie lautet Mathematische Methoden, der Professor ist sehr gut, nur hatte ich noch nie Fourier-Rheien und so... deshalb, halt.

02.05.2014, 13:42

bijektion

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Ich denke es geht wirklich um die Begrifflichkeiten.
Ich erinnere mich an eine ähnliche Aufgabe zur Lineare Algebra 1, wo auch kein Beweis zur Linearität des Integrals gefordert war.

02.05.2014, 13:52

Kreis

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Leider endet die Aufgabe hier noch nicht. Es gibt noch zwei weitere Abschnitte. Darf ich die hier auch nochmal präsentieren? smile

smile

02.05.2014, 17:01

bijektion

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Natürlich

smile

02.05.2014, 19:14

Kreis

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^^ Supi!

Zitat Aufgabenblatt: "

c)Die Funktionen

$\begin{eqnarray*} e_k : x \mapsto e_k (x)= \frac{1}{\sqrt\pi}\cos(kx) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k= 0,1,2,3... \end{eqnarray*}$

sind symmetrisch und quadratintegrabel, und damit Elemente( d.h. Vektoren) von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass die (unendlich vielen) Funktionen $\begin{eqnarray*} e_0,e_1,e_2,e_3.... \end{eqnarray*}$ orthonormal zueinander sind. Beweisen und benutzen Sie dazu die Identitätetn:

$\begin{eqnarray*} \int\cos(kx)\cos(nx)dx = \frac{\sin\Big((k-n)x\Big)}{2(k-n)} + \frac{\sin\Big((k+n)x\Big)}{2(k+n)} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (k\neq n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\cos^2(kx)dx = \frac{1}{2}\Bigg( x + \frac{\sin(2kx)}{2k}\Bigg) \end{eqnarray*}$

Im Folgenden setzen wir voraus, dass die orthonormalen Vektoren $\begin{eqnarray*} e_0,e_1,e_2,e_3.... \end{eqnarray*}$ tatsächlich eine ONB $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ bilden.

d) $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sei eine beliebige Funktion aus $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie die Komponenten von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bzgl. der ONB $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie damit, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ als sog. Fourier-Rheie

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{\sqrt\pi} \sum_{k=0}^{\infty} f_k \cos(kx) \end{eqnarray*}$

mit Fourier-Koeffizienten

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{\sqrt\pi} \int_{-\pi}^\pi f_k \cos(kx) \end{eqnarray*}$

dargestellt werden kann. (Hinweis: Stellen Sie f als Linearkombination der $\begin{eqnarray*} e_k \end{eqnarray*}$ dar: $\begin{eqnarray*} f=\sum_k f_k e_k \end{eqnarray*}$ )."

Zitat Ende

Ansatz:

c) Hört sich stark danach an, dass man Skalarprodukte der Einhietsvektoren (es sind doch die Einheitsvektoren, nicht wahr?) bilden soll und so eine Art Kronecker Delta herzaubern sollte, oder? Forum Kloppe

Forum Kloppe

d) WTF!

Erstaunt1

Fourier-Rheie? War das nicht so etwas um x-beliebige Schwingungen anhand Sinuswelligen Funktionen darzustellen?... ? ( Was... eee? What???) traurig

traurig

Lesen2

03.05.2014, 15:47

Kreis

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Hi?

Wink

03.05.2014, 16:41

bijektion

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Dann fang doch mal mit c) an. Für $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} e_k \end{eqnarray*}$ definiert, dann wählst du jetzt einfach zwei beliebige natürliche Zahlen $\begin{eqnarray*} i,j \in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und schaust dir mal $\begin{eqnarray*} e_i \cdot e_j \end{eqnarray*}$ an. Was heißt denn, das sie orthonormal zueinander sind?

08.05.2014, 19:32

Kreis

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Hi @bijektion!..

Erstmals wollte ich mich dafür entschuldigen, dass ich mich erst heute melde. Der Grund dafür ist, dass ich halt viel um die Ohren hatte und deswegen nicht mehr Zeit ins matheboard investieren konnte.

Zweitens, wollte ich mich nochmal vielmals um deine Hilfe bzw. um deine Bemühungen bedanken. Nichtsdestotrotz habe ich es zum Schluß geschafft die Aufgabe allein zu Ende zu lösen weshalb ich letzendlich dafür plädiere diesen Thread mit einer ordentliches Verabschiedung zu schließen.

Danke!! Tschüs! Wink

Wink

08.05.2014, 19:34

bijektion

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Zitat:

Zweitens, wollte ich mich nochmal vielmals um deine Hilfe bzw. um deine Bemühungen bedanken. Nichtsdestotrotz habe ich es zum Schluß geschafft die Aufgabe allein zu Ende zu lösen weshalb ich letzendlich dafür plädiere diesen Thread mit einer ordentliches Verabschiedung zu schließen.

Das war ja das Ziel. Kein Problem smile

smile

Freude

Wink

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