Betragsgleichung die dritte

02.05.2014, 10:05

Van Thom

Betragsgleichung die dritte

Ich soll die Betragsgleichung $\begin{eqnarray*} |\frac{x+4}{x-2}|<x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ lösen.

1. Fall: $\begin{eqnarray*} x+4>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-2>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x+4}{x-2}<x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0<x^2-x-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0<(x-\frac{\sqrt{17}+1}{2})(x+\frac{\sqrt{17}+1}{2}) \end{eqnarray*}$

2. Fall: $\begin{eqnarray*} x+4>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-2<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x+4}{-x+2}<x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+4<x(-x+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0<-x^2+x-4 \end{eqnarray*}$

Keine Lösung in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

3. Fall: $\begin{eqnarray*} x+4<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-2>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-x-4}{x-2}<x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x-4<x(x-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0<x^2-x+4 \end{eqnarray*}$

keine Lösung in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

4. Fall: $\begin{eqnarray*} x+4<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-2<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-x-4}{-x+2}<x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x-4<x(-x-4) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0<-x^2-3x+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0<(x-1)(x+4) \end{eqnarray*}$

Kann ich das so machen?

02.05.2014, 10:28

klarsoweit

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RE: Betragsgleichung die dritte

Zitat:

Original von Van Thom
1. Fall: $\begin{eqnarray*} x+4>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-2>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x+4}{x-2}<x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0<x^2-x-4 \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} 0<x^2-3x-4 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Van Thom
3. Fall: $\begin{eqnarray*} x+4<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-2>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-x-4}{x-2}<x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x-4<x(x-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0<x^2-x+4 \end{eqnarray*}$

keine Lösung in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

Nun ja. Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 0<x^2-x+4 \end{eqnarray*}$ hat durchaus eine Lösung. Allerdings ist der Fall wegen der nicht erfüllbaren Bedingung $\begin{eqnarray*} x+4<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-2>0 \end{eqnarray*}$ obsolet.

Zitat:

Original von Van Thom
4. Fall: $\begin{eqnarray*} x+4<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-2<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-x-4}{-x+2}<x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x-4<x(-x-4) \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} -x-4<x(-x+2) \end{eqnarray*}$

Die entstehenden quadratischen Ungleichungen solltest du natürlich auch bis zum Ende lösen. smile

02.05.2014, 21:01

Van Thom

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RE: Betragsgleichung die dritte
Also für den ersten Fall erhalte ich dann die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 0<(x-2)^2=(x-2)(x-2) \end{eqnarray*}$

Das ist genau dann wahr, wenn $\begin{eqnarray*} 0<x-2 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x>2 \end{eqnarray*}$ . Jetzt muss ich ja nur noch den Fall 4 betrachten also:

$\begin{eqnarray*} 0<(x-4)(x+1) \end{eqnarray*}$

Das ist wahr wenn $\begin{eqnarray*} 0<x-4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0<x+1 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x>4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$ . Da aus dem ersten Fall ersichtlich ist das $\begin{eqnarray*} x>2 \end{eqnarray*}$ sein muss und aus dem 4 Fall ersichtlich wird das $\begin{eqnarray*} x>4 \end{eqnarray*}$ sein muss, müsste die Lösung $\begin{eqnarray*} x>-1 \wedge x>4 \end{eqnarray*}$ sein. Stimmt das?

03.05.2014, 11:35

klarsoweit

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RE: Betragsgleichung die dritte

Zitat:

Original von Van Thom
Also für den ersten Fall erhalte ich dann die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 0<(x-2)^2=(x-2)(x-2) \end{eqnarray*}$

Das ist genau dann wahr, wenn $\begin{eqnarray*} 0<x-2 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x>2 \end{eqnarray*}$ .

Wie bist du darauf gekommen? Hatten wir da nicht x² - 3x - 4 > 0 ? verwirrt

Außerdem hast du für 0<(x-2)² die falsche Lösung. Merke: eine Quadratzahl ist bis auf eine Ausnahme immer größer als Null.

Zitat:

Original von Van Thom
$\begin{eqnarray*} 0<(x-4)(x+1) \end{eqnarray*}$

Müßte das nicht $\begin{eqnarray*} 0>(x-4)(x+1) \end{eqnarray*}$ lauten? verwirrt

03.05.2014, 16:54

Van Thom

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RE: Betragsgleichung die dritte
Entschuldigung, da habe ich wohl Fall 1 und Fall 4 durcheinander geschmissen.

1. Fall: $\begin{eqnarray*} x+4>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-2>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x+4}{x-2}<x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0<x^2-3x-4=(x-4)(x+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$

4 Fall: $\begin{eqnarray*} x+4<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-2<0 \end{eqnarray*}$ Da ich den Fall $\begin{eqnarray*} <0 \end{eqnarray*}$ betrachte ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung.

$\begin{eqnarray*} \frac{-x-4}{-x+2}<x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x-4>x(-x+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0>-x^2+3x+4=(x-4)(x+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x<-1 \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

03.05.2014, 18:50

HAL 9000

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Ein Feuerwerk an Vorzeichen- und Relationszeichenfehlern in diesem deinen 4.Fall:

Wenn du mit $\begin{eqnarray*} |x-2| = -x+2 \end{eqnarray*}$ multiplizierst, dann ist das in diesem 4.Fall eine positive Zahl!!! (Anscheinend eine Verwechslung von dir mit der negativen Zahl $\begin{eqnarray*} x-2 \end{eqnarray*}$ ).

In der vorletzten Zeile machst du durch das vergessene Vorzeichen bei $\begin{eqnarray*} -x^2+3x+4 \stackrel{?}{=} (x-4)(x+1) \end{eqnarray*}$ (richtig wäre hier $\begin{eqnarray*} -x^2+3x+4 = -(x-4)(x+1) \end{eqnarray*}$ ) das komischerweise wieder wett, scheiterst dann aber bei der richtigén Ergebnisangabe von

$\begin{eqnarray*} 0 > (x-4)(x+1) \end{eqnarray*}$ ,

die lautet nämlich $\begin{eqnarray*} -1<x<4 \end{eqnarray*}$ . (Dass das dann noch mit der Fallbedingung $\begin{eqnarray*} x<-4 \end{eqnarray*}$ verknüpft werden muss, sei nur am Rande erwähnt.)

03.05.2014, 21:20

Van Thom

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Pardon, also jetzt noch einmal den vierten Fall. Langsam nerven einfach nur noch Betragsungleichungen. böse

4.Fall: $\begin{eqnarray*} x+4<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-2<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-x-4}{-x+2}<x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x-4<x(-x+2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x-4<-x^2+2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0<-x^2+3x+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0<(x-4)(x+1) \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} 0<x-4 \end{eqnarray*}$ demnach $\begin{eqnarray*} 4<x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0<x+1 \end{eqnarray*}$ also

Ist das jetzt richtig?

03.05.2014, 21:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von Van Thom
$\begin{eqnarray*} 0<-x^2+3x+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0<(x-4)(x+1) \end{eqnarray*}$

Wenn ich eins hasse, dann ist es, wenn bereits angemahnte und ganz konkret benannte Fehler einfach nochmal "kopiert" werden. Forum Kloppe

Was habe ich hier gesagt:

Zitat:

Original von HAL 9000
In der vorletzten Zeile machst du durch das vergessene Vorzeichen bei $\begin{eqnarray*} -x^2+3x+4 \stackrel{?}{=} (x-4)(x+1) \end{eqnarray*}$ (richtig wäre hier $\begin{eqnarray*} -x^2+3x+4 = -(x-4)(x+1) \end{eqnarray*}$ ) [...]

Ein letztes Mal:

$\begin{eqnarray*} 0<-x^2+3x+4 = -(x-4)(x+1) \end{eqnarray*}$ , dann Multiplikation mit -1 (d.h. Relationszeichenwechsel)

$\begin{eqnarray*} 0>(x-4)(x+1) \end{eqnarray*}$

03.05.2014, 21:39

Van Thom

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Also dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} 0>(x-4)(x+1) \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} 0>x-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4>x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0>x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1>x \end{eqnarray*}$

Dann muss es also $\begin{eqnarray*} x<-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x<4 \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich nur noch den ersten Fall mit einbinden?

03.05.2014, 21:44

HAL 9000

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Wo machst du denn da? unglücklich

Das Produkt zwei reeller Zahlen ist genau dann negativ, wenn genau ein Faktor positiv und der andere negativ ist.

Hier bedeutet das: Es gilt $\begin{eqnarray*} 0>(x-4)(x+1) \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn

( $\begin{eqnarray*} x-4>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+1<0 \end{eqnarray*}$ ) oder ( $\begin{eqnarray*} x-4<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+1>0 \end{eqnarray*}$ )

gilt, umgestellt

( $\begin{eqnarray*} x>4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x<-1 \end{eqnarray*}$ ) oder ( $\begin{eqnarray*} x<4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$ ).

Der erste Fall (...) links ist offenbar eine unmögliche Kombination, bleibt nur noch der zweite Fall rechts.

03.05.2014, 22:12

Van Thom

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Und das gleiche bei dem ersten Fall? Also $\begin{eqnarray*} (x-4>0 und x+1>0) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (x-4<0 und x+1<0) \end{eqnarray*}$

Dann ist die Lösung $\begin{eqnarray*} (x-4>0 und x+1>0) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (x-4<0 und x+1<0) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (x<4 und x>-1) \end{eqnarray*}$

03.05.2014, 22:20

HAL 9000

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Ja. Allerdings ist das natürlich noch nicht der Lösungsanteil dieses Falles - es fehlt noch (wie ebenfalls bereits angemahnt!) die UND-Verknüpfung mit der Fallbedingung.

--------------------------------------------------

Eine generelle Anmerkung: Du hast dich ja für die "harte Tour" entschieden, d.h., Ungleichungslösung nach rein mechanischem Vorgehen. Ist ja soweit auch in Ordnung, kann aber eben sehr lang werden.

Mit etwas übersichtlichen "Blick" erkennt man bei der Originalungleichung

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{x+4}{x-2} \right| < x \end{eqnarray*}$

sofort, dass die linke Seite immer >0 ist. Das bedeutet, dass im Fall $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ die Ungleichung schon mal nicht gelten kann!

D.h., nach einer solchen Vorüberlegung kann man sich von vornherein auf positive Lösungen konzentrieren. Was z.B. den angenehmen Nebeneffekt hat, dass für diese $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ auch immer $\begin{eqnarray*} |x+4| = x+4 \end{eqnarray*}$ gilt und somit hier global umgeformt werden kann

$\begin{eqnarray*} \frac{x+4}{|x-2|} < x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+4 < x\cdot |x-2| \end{eqnarray*}$

Jetzt bleibt nur die einfache Fallunterscheidung $\begin{eqnarray*} 0<x<2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>2 \end{eqnarray*}$ .

03.05.2014, 22:39

Van Thom

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Also zählt nur der erste und vierte Fall? Langsam blicke ich garnicht mehr durch.

Jetzt noch einmal das ich überhaupt verstehe was ich hier mache. Ich werde ja hier nur durch die Rechnung gepeitscht ohne mal etwas zu erklären.

( $\begin{eqnarray*} x-4>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+1>0 \end{eqnarray*}$ ) oder ( $\begin{eqnarray*} x-4<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+1<0 \end{eqnarray*}$ )

Ist die Lösung für den ersten Fall. Da gibt es zwei Unterscheidungen weil ein Produkt größer Null ist wenn die Produkte beide positiv oder beide negativ sind.

Dann noch die Lösung vier:
( $\begin{eqnarray*} x>4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x<-1 \end{eqnarray*}$ ) oder ( $\begin{eqnarray*} x<4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$ ).

Wieso soll denn die einzige Lösung des vierten Falls ( $\begin{eqnarray*} x<4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$ ) sein?

Was meinst du denn mit UND-Verknüpfung mit der Fallbedingung? wieso kann ich denn nicht die Lösung mit ( $\begin{eqnarray*} x-4>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+1>0 \end{eqnarray*}$ ) oder ( $\begin{eqnarray*} x-4<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+1<0 \end{eqnarray*}$ ) und ( $\begin{eqnarray*} x<4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$ ) sein?

03.05.2014, 22:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Van Thom
Jetzt noch einmal das ich überhaupt verstehe was ich hier mache. Ich werde ja hier nur durch die Rechnung gepeitscht ohne mal etwas zu erklären.

Ich weiß nicht, wer hier peitscht - aber leider muss ich feststellen, dass wohl wichtige (um nicht zu sagen allernotwendigste) Grundlagen bei dir fehlen:

Zitat:

Original von Van Thom
Was meinst du denn mit UND-Verknüpfung mit der Fallbedingung? wieso kann ich denn nicht die Lösung mit ( $\begin{eqnarray*} x-4>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+1>0 \end{eqnarray*}$ ) oder ( $\begin{eqnarray*} x-4<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+1<0 \end{eqnarray*}$ ) und ( $\begin{eqnarray*} x<4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$ ) sein?

Die Umformungen in den jeweiligen Fällen gelten nur unter der Prämisse, dass die jeweilige Fallbedingung wahr ist. Also ermittelt man in diesem auch nur den Lösungsanteil, der dieser Fallbedingung genügt!!!

Z.B. in deinem 1.Fall: Fallbedingung ist $\begin{eqnarray*} x+4>0\wedge x-2>0 \end{eqnarray*}$ , umgeformt $\begin{eqnarray*} x>-4\wedge x>2 \end{eqnarray*}$ , was ja $\begin{eqnarray*} x>2 \end{eqnarray*}$ entspricht.

Die Umformungen ergeben (siehe dein letzter Beitrag) $\begin{eqnarray*} (x-4>0 \wedge x+1>0) \vee (x-4<0 \wedge x+1<0) \end{eqnarray*}$ oder umgeformt

$\begin{eqnarray*} (x>4 \wedge x>-1) \vee (x<4 \wedge x<-1) \end{eqnarray*}$ ,

was zu $\begin{eqnarray*} (x>4 \vee x<-1) \end{eqnarray*}$

vereinfacht werden kann. Den Lösungsanteil für diesen 1.Fall gewinnt man nun durch UND-Verknüpfung zur Fallbedingung, also

was zu $\begin{eqnarray*} (x>4 \vee x<-1) \wedge (x>2) \end{eqnarray*}$ , vereinfacht zu $\begin{eqnarray*} x>4 \end{eqnarray*}$

führt.

Ab hier musst du mich entschuldigen, bin jetzt weg. (D.h., jemand anders kann sehr gern hier übernehmen.)

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