Grenzwert Summe von Zufallsvariablen

02.05.2014, 11:16	Kathy93	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Summe von Zufallsvariablen Meine Frage: Es sein $\begin{eqnarray} (X_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ eine Folge unabhängig identischer Zufallsgrößen über einem W-Raum mit $\begin{eqnarray} E(X_1)=\mu >0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} V(X_1)=\sigma^2 >0. \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass für beliebiges $\begin{eqnarray} \alpha > 0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{X_1+...+X_n}{\sqrt{2n ln(n^{\alpha})} }= \infty \end{eqnarray}$ P-fast sicher! Meine Ideen: Mit welchem Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie lässt sich wohl dieses Problem am besten lösen? Ich hab bisher leider nichts gescheites hinbekommen. Edit[Kasen75]:Ich verschiebe es mal in den Hochschulbereich.
03.05.2014, 13:36	Kathy93	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert Summe von Zufallsvariablen Kann mir keiner weiterhelfen?
03.05.2014, 15:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal ist $\begin{eqnarray} \ln(n^{\alpha}) = \alpha\ln(n) \end{eqnarray}$ . Dann zentriere die Zufallsgrößen, d.h. betrachte $\begin{eqnarray} Z_i=X_i-\mu \end{eqnarray}$ mit dann $\begin{eqnarray} E(Z_i)=0,V(Z_i)=\sigma^2 \end{eqnarray}$ , es ist dann $\begin{eqnarray} \frac{X_1+\ldots+X_n}{\sqrt{2n\ln(n^{\alpha})}} = \mu\cdot \sqrt{\frac{n}{2\alpha\ln(n)}} + \frac{Z_1+\ldots+Z_n}{\sqrt{2n\alpha\ln(n)}} \end{eqnarray}$ . Für den zweiten Summanden kann mal $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty} (\ldots) = 0 \end{eqnarray}$ P-f.s. nachweisen, z.B. mit dem Gesetz des iterierten Logarithmus.

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