Kurvenintegral über Viertelkreis

02.05.2014, 12:49

Studentu

Kurvenintegral über Viertelkreis

Hallo Leute!

Bei folgender Aufgabe wäre es toll, wenn ihr mir helfen könntet, weil ich überhaupt nicht weiterkomme:

Gegeben ist das Vektorfeld f auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2: f(x,y)=(2x-2y,-2x+3y^2) \end{eqnarray*}$ .
Berechne direkt $\begin{eqnarray*} \int_C f dx \end{eqnarray*}$ , wobei C die Viertel-Kreiskurve mit Parameterdarstellung $\begin{eqnarray*} \gamma: t \in [0, \pi/2] \rightarrow (cos t, sin t) \end{eqnarray*}$ sei.
Überprüfe mittels der Integrabilitätsbedingungen, ob das Vektorfeld eine Stammfunktion besitzt.
Ist dies der Fall, gehe konstruktiv vor, um eine zu bestimmen. Überpüfe damit dein Ergebnis für das Integral.

Leider stecke ich noch beim ersten Teil der Aufgabe fest:
Die Ableitung der Parameterdarstellung ist (-sin t, cos t) und mittels $\begin{eqnarray*} \int_C f dx = \int_a^b <f(\gamma(t)),\gamma'(t)>dt \end{eqnarray*}$ habe ich versucht, das Integral zu berechnen:
$\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/2}<f(cos t, sin t), (-sin t, cos t)>dt = \int_0^{\pi/2}<(2cos t - 2 sin t, -2 cos t + 2 sin^2 t), (-sin t, cos t)>dt = \int_0^{\pi/2} -2(cos(2t)sin(2t))-2cos(t)sin(t)+3sin^2(t)cos(t)dt \end{eqnarray*}$
Da ich hier nicht sehe, wie ich weiter umformen könnte, vermute ich, dass da schon wo ein Fehler drinnen ist. Bei dem zweiten Teil der Aufgabe kenne ich mich überhaupt nicht aus.

Danke im Voraus,
LG

02.05.2014, 20:03

Leopold

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Bitte setze Klammern um den Integranden. Ich bekomme dafür

$\begin{eqnarray*} - 2 \cos(2t) - \sin(2t) + 3 \cos(t) \sin^2(t) \end{eqnarray*}$

Beim zweiten und dritten Summanden sehe ich Übereinstimmung mit deiner Rechnung.

03.05.2014, 16:16

Studentu

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Danke für deine Antwort.
ok

Wie ich jz gemerkt habe, habe ich bereits beim Einsetzen in f(x,y) einen Fehler gemacht.
Mit dem richtigen f(x,y) habe ich nun nochmal alles durchgerechnet und komme aufs gleiche Ergebnis wie du.

Das Integral habe ich auch gleich berechnet, indem ich die drei Integrale einzeln berechnet habe.
Mein Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} \int_0^(\pi/2)(-2 cos(2t)dt = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^(\pi/2)(-sin(2t)))dt=-1/2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^(\pi/2)(3cos(t)sin^2(t))dt = 1 \end{eqnarray*}$ , wobei ich beim letzten Integral einmal partiell integriert und dann umgeformt habe.

Insgesamt kommt also 1/2 heraus.
Damit wäre der erste Teil der Aufgabe geschafft smile

Für die Integrabilitätsbedingung überprüfe ich: $\begin{eqnarray*} \frac{df_1}{dy}=-2, \frac{df_2}{dx}=-2 \end{eqnarray*}$ .
Wie geht man denn nun konstruktiv vor, um die Stammfunktion zu finden? Muss ich dafür x und y einzeln betrachten/integrieren?

LG

03.05.2014, 16:51

Leopold

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Beim letzten Integral würde ich $\begin{eqnarray*} u = \sin t \end{eqnarray*}$ substituieren. Dann bist du sofort am Ziel. Und beim zweiten Integral hast du dich verrechnet. Überprüfe das nochmal.

Zur Stammfunktion:
Integriere $\begin{eqnarray*} 2x-2y \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (behandle $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ wie eine Konstante) und $\begin{eqnarray*} -2x + 3y^2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ (behandle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ wie eine Konstante). Vergleiche die beiden Terme und versuche, sie durch Manipulation der jeweiligen Integrationskonstanten (beim ersten ist das eine von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ unabhängige Konstante $\begin{eqnarray*} A(y) \end{eqnarray*}$ , beim zweiten eine von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ unabhängige Konstante $\begin{eqnarray*} B(x) \end{eqnarray*}$ ) zur Übereinstimmung zu bringen. Mache auf jeden Fall die Probe.

04.05.2014, 13:17

Studentu

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Danke für die Korrektur.
Beim zweiten Integral kommt -1 heraus (ich hatte die untere Grenze cos(0)/2 nicht abgezogen).

Beim Integrieren nach x erhalte ich $\begin{eqnarray*} x^2-2xy+A(y) \end{eqnarray*}$ , beim Integrieren nach y $\begin{eqnarray*} y^3-2xy+B(x) \end{eqnarray*}$ , also, damit beide Ausdrücke gleich sind, $\begin{eqnarray*} x^2-2xy+y^3 \end{eqnarray*}$ . Stimmt das so?
Für diese Stammfunktion $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ müsste jetzt gelten, da f Gradientenfeld und konservativ ist, $\begin{eqnarray*} \int_C(f(x))dx = \phi(\pi/2)-\phi(0) \end{eqnarray*}$ . Was muss ich denn da für x und y jetzt jeweils einsetzen? Muss ich rechnen $\begin{eqnarray*} \phi(x,y) = 0, \phi(x,y) = 1/2 \end{eqnarray*}$ und mir dann z.B. x durch y ausdrücken und für x diesen Ausdruck einsetzen und für y $\begin{eqnarray*} \pi/2 \end{eqnarray*}$ und 0?

04.05.2014, 13:46

Leopold

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Zitat:

Original von Studentu
$\begin{eqnarray*} x^2-2xy+y^3 \end{eqnarray*}$ . Stimmt das so?

Zitat:

Original von Leopold
Mache auf jeden Fall die Probe.

Zitat:

Original von Studentu
Was muss ich denn da für x und y jetzt jeweils einsetzen?

Du mußt die Endpunkte deiner Kurve einsetzen:

$\begin{eqnarray*} a = \gamma(0) = (1,0) \, ; \ \ b = \gamma \left( \frac{\pi}{2} \right) = (0,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} (2x-2y) ~ \dd x + (-2x+3y^2) ~ \dd y = \Phi(b) - \Phi(a) \end{eqnarray*}$

04.05.2014, 14:47

Studentu

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Achso, danke, so kommt man also auf die Intervallgrenzen.

Schaut die Probe dann so aus?:

$\begin{eqnarray*} \int_{(1,0)}^{(0,1)}((2x-2y)dx+(-2x+3y^2)dy) = 2(x^2-2xy+y^3)|_{(1,0)}^{(0,1)} = (0-0+1)-(1-0+0) = 0 \end{eqnarray*}$

04.05.2014, 15:03

Leopold

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Zitat:

Original von Studentu
Achso, danke, so kommt man also auf die Intervallgrenzen.

Schaut die Probe dann so aus?:

$\begin{eqnarray*} \int_{(1,0)}^{(0,1)}((2x-2y)dx+(-2x+3y^2)dy) = \color{red} 2 \color{black} (x^2-2xy+y^3)|_{(1,0)}^{(0,1)} = (0-0+1)-(1-0+0) = 0 \end{eqnarray*}$

Mit der Probe meinte ich, ob $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ die richtige Stammfunktion ist.
Und wo kommt die 2 her?
Ansonsten stimmt die Rechnung.

04.05.2014, 15:47

Studentu

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Ich hab gedacht, ich muss phi einsetzen und weil ich es einmal nach x und einmal nach y integriert habe, zweimal.

Aber vermutlich war die Probe eher so gedacht, oder:?

$\begin{eqnarray*} \int_{(1,0)}^{(0,1)} (2x-2y)dx+(-2x+3y^2)dy = x^2-2y+(-2x+y^3)|_{(1,0)}^{(0,1)} = 0 = x^2-2xy+y^3|_{(1,0)}^{(0,1)} = \int_C f dx \end{eqnarray*}$

Sollte das stimmen, habe ich noch eine letzte Frage an dich:

Das Integrabilitätskriterium besagt doch, dass f ein Gradientenfeld ist, wenn A dazu auch noch konvex ist. (wobei $\begin{eqnarray*} f \in C^1(A,\mathbb{R}^n) \end{eqnarray*}$ . Und wenn f ein Gradientenfeld ist, dann existiert die Stammfunktion. Dann heißt, wir hätten vorher eigentlich noch zeigen müssen, dass unser A offen ist? Und A müsste doch $\begin{eqnarray*} \gamma([0,\pi/2])=[(1,0),(0,1)] \end{eqnarray*}$ sein. Ist dieses Intervall denn konvex bzw. wie zeigt man das?

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