Extrema einer Gleichung vierten Grades

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cheaty Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema einer Gleichung vierten Grades
Es mag sein, dass ich hier einfach nur eine Denkblockade habe und nur ein wenig auf die Sprünge kommen muss. Extremwertaufgaben bis zum dritten Grad sind eigentlich für mich recht einfach - aber beim vierten Grad komme ich momentan irgendwie nicht weiter...
Folgende Gleichung:


und Folgende Ableitung(en):


und die zweite Ableitung gleich vereinfacht:


Normalerweise würde ich jetzt die Werte aus der ersten Ableitung in eine PQ-Formel einsetzen und diese lösen um die entsprechenden Werte zu bekommen (wie es ja auch mit Gleichungen dritten Grades geht).
Allerdings darf dies meiner Ansicht nach nicht mit x^3 am Anfang geschehen - bedeutet, ich könnte die erste Ableitung nicht durch 4 dividieren und diese dann per PQ-Formel zu den Extremwerten bringen.
Wie mache ich hier weiter? Kann ich bedenkenlos die zweite Ableitung in eine PQ-Formel einsetzen und daraus die richtigen Ergebnisse bekommen?

Also würde ich mit weiter kommen oder nicht?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

die erste und zweite Ableitung stimmen nicht.



Kannst du davon die Nullstellen bestimmen?

Edit:
Da ich weg muss, ein Tipp: x ausklammern und pq-Formel anwenden.
cheaty Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mi_cha
die erste und zweite Ableitung stimmen nicht.


Diesen Rechenweg kann ich aber vollständig nachvollziehen:

Zur ersten Ableitung:

Zwischenschritt:
f'(x)=4x^(4-1)-3*2x^(3-1)-2*3x^(2-1)

Ergebnis:

bei 6x^1 fällt dann ja das x weg...

Zweite Ableitung:
Zwischenschritt:
f''(x)=4*3x^(3-1)-2*6x^(2-1)
die -6 aus der ersten Ableitung fällt weg, da es kein x gibt
eine -6 kommt aber dank 6x^1 wieder rein.
Also:
|:12




Zitat:
Original von Mi_cha


Kannst du davon die Nullstellen bestimmen?

Nein, weil am Ende der Gleichung für die PQ-Formel ein x steht.
Außerdem würde man ja meiner Meinung nach durch eine PQ-Formel mit der ersten Ableitung die Schnittstellen der Gleichung mit der X-Achse bekommen... (1,37 und 0,37 wie ich es berechnet hatte) - Oder habe ich da jetzt bereits Extremwerte errechnet und sie fälscherlicherweise als X-Achsen-Nullstellen angesehen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cheaty
Ergebnis:

bei 6x^1 fällt dann ja das x weg...

Und warum sollte da das x wegfallen? verwirrt
Anders gesagt: die Funktion f(x)=x² hat die Ableitung f'(x)=2 und folglich hat der Graph von f(x) eine konstante Steigung, so daß also f(x)=x² eine Gerade darstellt? verwirrt
cheaty Auf diesen Beitrag antworten »

x^1 = 0 - wurde uns so erklärt - also f'(x)=4x^3-6x^2-2*3x^1
Ich tipp hier mal ne kleine Gedankenstütze:
y=x^3+2x^2-x-2 -> y'=3x^2+4x-1 ist definitiv richtig...

nx^n-1

also 4x^3-6x^2-2*3x alleine?. bei x^1 und x^0 bin ich immer recht planlos

EDIT: Komplettzitat entfernt. (klarsoweit)
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

es gilt:

Demnach ist die erste Ableitung deiner Funktion .

Das Beispiel, was du anführst, stimmt. Ich weiß aber nicht, was du damit zeigen willst.
 
 
cheaty Auf diesen Beitrag antworten »

Also:


sollte ich mir mal irgendwo notieren.

Also wäre die zweite Ableitung:
f''(x)=4*3x^(3-1)-2*6x(2-1)-0*6x^(1-1)
also ->
und damit eigentlich:


Damit wäre ja nur die 2. Ableitung in eine PQ-Formel zu bringen:
|/12





Komme ich so jetzt zu den Nullstellen, oder zum gesuchten Extrema?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

nein. Du musst doch für die Extrema folgendes Lösen:

.

Nachdem du die richtige Ableitung akzeptiert hast, siehe meinen Tipp oben.
cheaty Auf diesen Beitrag antworten »

In meinen Unterlagen haben wir (jedenfalls für Gleichungen bis zum dritten Grad) immer die erste Ableitung in die PQ-Formel eingesetzt und diese aufgelöst.

Also

|f'(x)=0

Das nach X aufgelöst scheint mir dann das Ergebnis für das Extrema zu sein.

Wie bekomme ich das jetzt in eine Form für eine PQ-Formel? Die Formel muss ja nach X aufgelöst werden und da mich bei solchen berechnungen die Klammer stört, würde ich die auflösen, was dann aber eigentlich ja wieder das Falsche ist, weil es ja das Ausklammern rückgängig machen würde...
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

eine mögliche Extremstelle ist bei .
Denn ein Produkt ist immer dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.

Für die anderen beiden möglichen Extremstellen, muss durch 4 geteilt werden. Dann kann man die pq-Formel anwenden.
cheaty Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mi_cha
eine mögliche Extremstelle ist bei .
Denn ein Produkt ist immer dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.

Für die anderen beiden möglichen Extremstellen, muss durch 4 geteilt werden. Dann kann man die pq-Formel anwenden.


f'(x)=0 - das ist doch auch schon ein Faktor, der schon auf 0 gesetzt wurde.

Für die PQ-Formel hätte ich dann:

Das x/4 stört mich da noch - ich kann doch die PQ-Formel nur auf den Wert innerhalb der Klammer anwenden, darf ja aber keine Werte außer Acht lassen. - die PQ-Formel braucht ja eine form wie f(x)=mx²+x+b für die Werte aus Gleichungen.
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube, du missverstehst das, was ich meine.

die Ableitung sieht so aus

diese muss Null gesetzt werden, um die möglichen Extremstellen zu finden, also:

.

Das x ist schnell abgehakt.

Nun den zweiten Faktor auf eine Form bringen, so dass man die pq-Formel anwenden kann, also:

.

Das nun ausrechnen und man erhält insgesamt drei mögliche Extremstellen.
cheaty Auf diesen Beitrag antworten »

f(x) = 0 bedeutet doch, dass der Faktor f auf Null gesetzt wird, x ist ja ein anderer Faktor, der ja eigentlich den Wert der X-Achse annimmt - und f gibt in dem Fall den Y-Wert an..

Mit X=0 rechnet man ja normalerweise Schnittstellen mit der Y-Achse aus:
| x=0

<- Das ist ja der Schnittpunkt mit der Y-Achse

Aber angenommen es funktioniert:







Ist dies so richtig?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, du verstehst das nicht ganz. Vielleicht drücke ich mich nicht klar genug aus verwirrt
Du darfst nicht f´(0) berechnen, sondern herausfinden, wann f´(x)=0 wird.

Zitat:

f(x) = 0 bedeutet doch, dass der Faktor f auf Null gesetzt wird, x ist ja ein anderer Faktor, der ja eigentlich den Wert der X-Achse annimmt - und f gibt in dem Fall den Y-Wert an..


das hat damit nichts zu tun verwirrt

Zitat:

Aber angenommen es funktioniert:


Ja, es funktioniert. Sofern man sich nicht verrechnet und richtig vorgeht. Bitte nicht f(0) schreiben, denn das bedeutet ja, man setzt den Wert x=0 ein.
Rechne die pq-Formel erneut nach. Ich komme auf




Und natürlich nicht vergessen .

Vielicht hilft auch ein Blick auf den Graphen, um das zu sehen.

cheaty Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, noch einmal in allerkleinsten Einzelschritten:









Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

so stimmts nun.
Jetzt gilt es noch mit Hilfe der dritten Ableitung zu überprüfen, ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt, und die jeweiligen y-Koordinaten der Extremstellen müssen noch bestimmt werden.
cheaty Auf diesen Beitrag antworten »

Y-Stellen:








Natürlich ohne gerundete Zahlen gerechnet...






Also sind die Extremstellen (0|0), (2,186140662|-12,39283023) und (-0,6861406616|-0,7663120604)

Das mit dem Minimum und Maximum hab ich nicht mehr so ganz im Kopf. Das war doch Minimum, wenn die 2. Ableitung mit einem eingesetzten Wert (wahrscheinlich die X-Werte der Extremstellen) <0 ist und ein Maximum, wenn die zweite Ableitung >=0 ist... Stimmt das soweit?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

für und komme ich auf dasselbe Ergebnis, bei erhalte ich -0,5446.

Für das Minimum muss gelten , für ein Maximum .
Und ja, die gerade ermittelten x-Werte der Extremstellen müssen eingesetzt werden.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cheaty

sollte ich mir mal irgendwo notieren.

Dann notiere es wenigstens richtig: smile
cheaty Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mi_cha
für und komme ich auf dasselbe Ergebnis, bei erhalte ich -0,5446.

Für das Minimum muss gelten , für ein Maximum .
Und ja, die gerade ermittelten x-Werte der Extremstellen müssen eingesetzt werden.


Was wäre im Fall ? Kann dieser Fall nicht auftreten?

Nochmal y bei





Minimum/Maximum für :




Damit ein Maximum...

für :



Damit ein Minimum...

für :



Damit ebenfalls ein Minimum...
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cheaty

Was wäre im Fall ? Kann dieser Fall nicht auftreten?



Doch, dieser Fall kann auftreten. Falls dann zusätzlich ist, liegt ein Sattel- bzw. Terrassenpunkt vor.

-----------------------
Ansonsten stimmt die Bestimmung der Extrema (ich habe allerdings die Werte nicht genau überprüft), es fehlt lediglich die jeweilige y-Koordinate.
Das Maximum liegt bspw. bei .
Für die Maxima müsstet du das noch schnell ausrechnen. Dazu die ermittelten x-Werte in f(x) einsetzen.
cheaty Auf diesen Beitrag antworten »

Extrempunkt :







Da stimmt irgendwas nicht - der Y-Wert für das Maximum kann doch nicht da liegen.






Das stimmt auch definitiv nicht, wenn man sich mal die Graphenzeichnung aus den vorherigen Beiträgen ansieht... Hab ich mich da bei den Extremwerten für x verrechnet? oder meintest du das Einsetzen in eine der Ableitungen?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

du hast Recht, dass da etwas nicht stimmt.
Der Grund liegt darin, dass du die falschen Werte in die dritte Ableitung eingesetzt hast. Du darfst nicht einsetzen, was du bei der Bestimmung aus der zweiten Ableitung erhalten hast, sondern musst den x-Wert nehmen, an dem die Extremstelle vorliegt.

Also konkret:

, und müssen berechnet werden.

So ergibt sich für , d.h. das Maximum hat die Koordinaten .
cheaty Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja - jetzt fällt mir auf dass das ja Y-Stellen waren...















Die Werte sehen mir logischer aus, wenn man sich den Graphen betrachtet.
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

ja, so stimmt es nun.
Abgesehen davon, dass du ungerne Klammern um die zu potenzierenden Terme setzt Augenzwinkern .
cheaty Auf diesen Beitrag antworten »

Okay smile bei der letzten Rechnung hab ich ein paar Klammern vergessen - Normalerweise setz ich die (abgesehen von dem Zweck zur Rechnungsreihenfolge) nur, wenn zwei rechenzeichen aufeinander folgen - um halt vom Minus einer negativen Zahl und vom Minus als Rechenoperation zu unterscheiden.

Danke für die ausführliche Hilfe...
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne Wink
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