Potenzreihenansatz & Koeffizientenvergleich

02.05.2014, 16:10	Mathomatico	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihenansatz & Koeffizientenvergleich Bestimmen Sie mittels Potenzreihenansatz (Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} x_{0}=0 \end{eqnarray}$ ) und Koeffizientenvergleich eine zweiparametrige Schar von Lösungen der linearen Differentialgleichung $\begin{eqnarray} (x^2+3)y''(x)=2y(x) \end{eqnarray}$ Ansatz: $\begin{eqnarray} y(x)=\sum\limits_{k=0}^{inf} a_k x^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'(x)=\sum\limits_{k=1}^{inf} k * a_k * x^{k-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y''(x)=\sum\limits_{k=2}^{inf} k * (k-1) * a_k * x^{k-2} \end{eqnarray}$ -> Einsetzen $\begin{eqnarray} (x^2+3)(\sum\limits_{k=2}^{inf} k (k-1) * a_k * x^{k-2})-2(\sum\limits_{k=0}^{inf}a_k x^k)=0 \end{eqnarray}$ -> Klammern auflösen $\begin{eqnarray} x^2(\sum\limits_{k=2}^{inf} k (k-1) * a_k * x^{k-2})+3(\sum\limits_{k=2}^{inf} k (k-1) * a_k * x^{k-2})-2(\sum\limits_{k=0}^{inf} a_k x^k)=0 \end{eqnarray}$ -> Faktoren in die Summe reinziehen $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{k=2}^{inf} k * (k-1) * a_k * x^{k})+(\sum\limits_{k=2}^{inf} 3k (k-1) a_k x^{k-2})-(\sum\limits_{k=0}^{inf} 2* a_k * x^k)=0 \end{eqnarray}$ -> Indizes durch n ersetzen, sodass nur noch $\begin{eqnarray} x^n \end{eqnarray}$ vorkommt $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{n=2}^{inf} n * (n-1) * a_n * x^{n})+(\sum\limits_{n=0}^{inf} 3* (n+2) (n+1) a_{n+2} * x^{n})-(\sum\limits_{n=0}^{inf} 2* a_n * x^n)=0 \end{eqnarray}$ -> einzelne Summanden rausziehen, damit alle Indizes bei 2 starten $\begin{eqnarray} -2a_0+6a_2+(-2a_1+18a_3)x+(\sum\limits_{n=2}^{inf} [a_n * (n^2-n-2)+3a_{n+2}(n+1)(n+2)]x^n)=0 \end{eqnarray}$ SOWEIT BIN ICH BIS JETZT GEKOMMEN! Nun weiß ich nicht weiter, da ich nicht wirklich den Koeffizientenvergleich verstehe Meine Vermutung/Ansatz ist folgender: Der Ausdruck in der eckigen Klammer muss gleich NULL sein, welche ich umforme: $\begin{eqnarray} a_{n+2}=\frac{2-n}{3n+2} * a_n \end{eqnarray}$ Da der Rest von der Gleichung auch NULL werden muss, gehe ich davon aus, dass: $\begin{eqnarray} a_0 , a_1 , a_2 , a_3 = 0 \end{eqnarray*}$ sein müssen. Ist das richtig? Wofür ist aber dieser Entwicklungspunkt?! Ich denke mir mal, dass ich den hier irgendwie verwenden soll! :/ Mit Freundlichen Grüßen Mathematico PS: Danke für Eure Hilfe
03.05.2014, 14:47	Mathomatico	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihenansatz & Koeffizientenvergleich Erbitte um rasche Hilfe!

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