Q frei bei Charakteristik 0

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Studentu Auf diesen Beitrag antworten »
Q frei bei Charakteristik 0
Hallo an alle!

Folgende kurze Aufgabe würde ich gerne lösen:
Sei K die Klasse aller Körper der Charakteristik 0 (mit Ringhomomorphismen). Zeige, dass Q in dieser Klasse frei ist und gib an, über welcher Menge!

Leider fehlt mir hier noch komplett der Ansatz.
Grundsätzlich würde ich jetzt einen Homomorphismus suchen, aber nachdem ich nicht weiß, über welcher Menge, steh ich da auf der Leitung...

Wäre super, wenn ihr mir einen Tipp geben könntet.
LG
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wie viele Homomorphismen gibt es denn?

Es ist ja eine Menge X zu finden mit .
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Q frei bei Charakteristik 0
Ich weiß nicht, wie ihr das alles definiert habt, aber ausgehend von den wikipedia-Definitionen hätte ich mir folgendes überlegt:

(Fields char0) kommt mit Funktor F: (Fields char0) -> (Sets), K -> {Set of elements K\Q}

Dann ist klar, dass Q frei über der leeren Menge ist, denn Q ist initial in (Fields char 0).

lg

Edit: ganze 16 Minuten zu spät. Sorry, musste gerade Definitionen nachlesen und überlegen, was die concrete structure auf (Fields char0) ist.
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch beiden für eure Hilfe!

@ tmo: es darf nur genau einen Homomorphismus von Q auf jedes Element der Klasse geben.
Die von dir erwähnte Menge X ist dann die, über der Q frei ist, oder?
Ich weiß noch nicht ganz, worauf du hinaus willst...

@Louis1991: Also du bildest die Körper der Charakteristik 0 worauf ab?
Ist ein Funktor ein Gruppenhomomorphismus?
Was bedeutet "Q ist initial"?
LG
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Für jeden Körper K der Char. 0 gibt es nur genau einen Körperhomomorphismus .

Also brauchst du nun eine Menge , die die Eigenschaft hat, dass es für jeden Körper K nur genau eine Abbildung (Abbildung als Mengen, also ohne irgendwelche Einschränkungen) gibt.

Das kann offensichtlich nur die leere Menge leisten.


Und in der Tat:

Wir haben eine Abbildung (als Mengen).

Und hat man eine Abbildung (als Mengen) gegeben, so gibt es genau einen Homomorphismus , derart, dass gilt.

Das ist doch genau die universelle Eigenschaft eines freien Objekts. Und die ist hier trivialerweise erfüllt, weil alle 3 auftretenden Abbildungen nunmal die einzigen ihrer Zunft sind.
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, tmo.

Was meinst du denn mit Abbildung "(als Mengen)"?
Vlt. wird es mir dann klarer, denn ich sehe leider noch nicht, wo genau wir jetzt gezeigt haben, dass es nur genau einen Homomorphismus geben kann. (also irgendwie ist schon einleuchtend, dass die leere Menge keine Schwierigkeiten bzgl. der Homomorphieeigenschaft bereiten kann, weil sie ja keine Elemente hat, aber wie begründet man das formell?)
 
 
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Studentu
@Louis1991: Also du bildest die Körper der Charakteristik 0 worauf ab?
Ist ein Funktor ein Gruppenhomomorphismus?
Was bedeutet "Q ist initial"?


Ein initiales Objekt A einer Kategorie hat die Eigenschaft, dass es für jedes Objekt B gilt |Hom(A,B)|=1. Es gibt also genau einen Morphismus von A nach B. Beispiele: \emptyset in (sets), Z in (com. rings), 0 in (modules), etc.
(Note: nicht jede Kategorie besitzt ein initiales Objekt. Falls es existiert, ist es aber eindeutig (bis auf eindeutigen Iso.))

Die Definition eines Funktors.

Warum habe ich diesen ganzen spam gemacht? Du hast evtl. gelesen, dass ich dich gefragt habe, wie ihr "frei", etc. definiert habt. Ich stelle mich auf den kategorientheoretischen Standpunkt. Das heißt, damit der Begriff "frei" Sinn hat, brauche ich erstmal einen geeigneten Funktor von (fields char0) -> (sets). Der "klassische" Vergissfunktor tut es wohl nicht, da ja dann Q nicht frei wäre. (Und insbesondere F(Q) nicht initial). Eine Basiskategorie sollte aber ja das Abbildungsverhalten der darüber liegenden Kategorie wiederspiegeln.

Also wähle den Funktor so: es existiert für alle K in (fields char0) genau ein f:Q -> K. Betrachte den Funktor, der jedem Körper K die Menge K\f(Q) zuordnet. Insbesondere wird jeder zu Q isomorphe Körper auf die leere Menge geschickt. Easily check, dass dann alles passt.


Edit: Im Wesentlichen sage ich natürlich nichts anderes als tmo, aber eventuell mit etwas anderer Sprache.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Studentu
Danke, tmo.

Was meinst du denn mit Abbildung "(als Mengen)"?

Damit meine ich einfach nur, dass die Abbildung keinerlei Struktur erhalten muss. Einfach irgendeine Abbildung.

Zitat:
Original von Studentu
Vlt. wird es mir dann klarer, denn ich sehe leider noch nicht, wo genau wir jetzt gezeigt haben, dass es nur genau einen Homomorphismus geben kann.

Das haben wir nirgends gezeigt. Das haben wir nur benutzt um eben zu zeigen, dass Q frei über der leeren Menge ist.

Ich dachte, dass es nur einen Homomorphismus gibt, sei dir bereits klar.
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch beiden nochmal!

Leider haben wir das Kapitel im Skript übersprungen, in dem erwähnt wird, dass Q initial ist. Lässt sich das irgendwie beweisen?


@ Louis1991: Danke für die Erklärungen, das macht jetzt Sinn. Tatsächlich haben wir es aber eher mit den Begriffen gelernt, die tmo benutzt hat.

@ tmo: Lass mich den Gedankengang bitte kurz zusammenfassen, damit ich weiß, ob das so stimmt:
Wenn wir wissen, dass Q initial ist, dann gibt es nach Definition (von inital) nur einen Homomorphismus phi von Q auf K. Daher brauche ich eine Menge, von der es nur genau eine Abbildung f von X nach K gibt, weil ja gelten muss f = phi i, (wobei i irgendeine Abbildung von X nach Q ist) und ich nur einen Homomorphismus habe. Die einzige Menge, die nur genau eine Abbildung von X nach K hat, ist die leere Menge, somit ist sie unsere Lösung.

Danke, LG
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich lässt sich das beweisen:

Dass es mind. einen gibt, ist klar, da jeder Körper der Char. 0 Q enthält.

Hat man 2 Homomorphismen von Q nach K, so ist die Menge, auf der sie gleich sind, ein Körper. Q hat aber keine echten Teilkörper.
Kegorus Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, wie begründest du, dass die Menge auf der die "beiden" Homomorphismen gleich sind ein Körper ist?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das folgt direkt aus der Homomorphismuseigenschaft.
Kegorus Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich mir schon gedacht, dass das so ist, aber mir ist nicht ganz klar wieso..
Warum ist es nicht möglich, dass die beiden Homomorphismen auf irgend einer Menge gleich sind, die kein Körper ist?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ist f(x)=g(x) und f(y)=g(y), dann gilt f(xy)=f(x)f(y)=g(x)g(y)=g(xy).

Das gleiche Argument für die Addition und die Inversenbildung.
Kegorus Auf diesen Beitrag antworten »

Okay vielen Dank!
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Eine frage hätte ich noch:
Was, wenn ein zweiter homomorphismus mit dem ersten nirgends gleich ist? Die leere menge ist doch dann kein unterkörper?
Und ist unser eindeutige homomorphismus denn die identität?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Homomorphismus bildet die 0 auf die 0 und die auf 1 die 1 ab...
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich! Hammer

Vielen Dank für alle eure Antworten!
LG
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