Betragsgleichung die vierte

Neue Frage »

02.05.2014, 21:14	Van Thom	Auf diesen Beitrag antworten »
Betragsgleichung die vierte Ich soll die Betragsgleichung $\begin{eqnarray} \frac{1}{x+\|x+1\|}<2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ lösen. 1. Fall: $\begin{eqnarray} x>-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{x+x+1}<2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2x+1}<2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x>-\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ 2. Fall: $\begin{eqnarray} x<-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{x-(x+1)}<2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{x-x-1}<2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -1<2 \end{eqnarray}$ wahre Aussage. Demnach müsste die Lösung sein $\begin{eqnarray} x>-\frac{1}{4}\wedge x<-1 \end{eqnarray}$ . Stimmt das?
02.05.2014, 21:42	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung die vierte Hier sind noch einige Baustellen. Zunächst folgende Fragen: - Für welches x ist die linke Seite nicht definiert? - Was ist mit dem Fall x = -1?
02.05.2014, 21:53	Van Thom	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung die vierte Wenn im ersten Fall $\begin{eqnarray} x=-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ dann wird der Nenner Null. Das heißt ich müsste die $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ mit ausschließen? Im zweiten Fall fällt ja das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ weg und demnach müsste nur der Fall wenn $\begin{eqnarray} x=-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ wichtig sein. Wie spielt man denn den Fall $\begin{eqnarray} x=-1 \end{eqnarray}$ durch?
02.05.2014, 22:09	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung die vierte Der 2. Fall ist tatsächlich erledigt, denn für x < -1 ist die Ungleichung immer erfüllt, d.h. für diesen Fall können wir schon mal die Teil-Lösungsmenge vormerken. x = - 1/2 spielt im 1. Fall eine Rolle, denn wir wissen jetzt: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2} \notin L \end{eqnarray}$ x = 1 ist somit kein Problem, dies wird üblicherweise in den Zweig gepackt, wo der Betrag größer 0 ist, also muß Dein 1. Fall lauten: $\begin{eqnarray} x\geq -1 \end{eqnarray}$ . Die Betragsstriche hast Du dann richtig aufgelöst, nur für $\begin{eqnarray} \frac{1}{2x+1} < 2 \end{eqnarray}$ ist eine weitere Fallunterscheidung fällig, denn um das x aus dem Nenner wegzukriegen multiplizieren wir die Gleichung mit (2x + 1) und das kann - unter Berücksichtigung der Voraussetzung $\begin{eqnarray} x\geq -1 \end{eqnarray}$ ! - ebenfalls wiederum größer oder kleiner 0 sein. Wenn (2x + 1) kleiner 0 ist, würde sich dann das Ungleichheitszeichen umdrehen. Rechne also jetzt die Fallunterscheidung für (2x + 1) durch.
02.05.2014, 23:43	Van Thom	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung die vierte Ich habe dann den Fall 1. Fall: $\begin{eqnarray} x>-1 \end{eqnarray}$ 1.1 Fall: $\begin{eqnarray} x>-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2x+1}<2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x>-\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ 1.2 Fall: $\begin{eqnarray} x<-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2x+1}<2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1>(2x+1)\cdot 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x<-\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ Meinst du das so?
03.05.2014, 16:55	Van Thom	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung die vierte Kann mir noch jemand helfen?
Anzeige

04.05.2014, 14:22	Van Thom	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung die vierte Eventuell jetzt?
05.05.2014, 11:47	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung die vierte Mußte Freitag Nacht dann weg und bin erst jetzt wieder online. Also: Der 1. Fall ist $\begin{eqnarray} x\geq -1 \end{eqnarray}$ . Die -1 gehört mit dazu. Die neuen Fallunterscheidungen 1.1 und 1.2 stimmen. Die Lösungen für 1.1 und 1.2 müssen aber jetzt mit den Bedingungen der Zweige 1.1 und 1.2 in Einklang gebracht werden. Es gilt also für 1.1: $\begin{eqnarray} x\geq -1 \wedge x>-\frac{1}{2} \wedge x>-\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ Für 1.2: $\begin{eqnarray} x\geq -1 \wedge x<-\frac{1}{2} \wedge x<-\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ Welche Lösungsintervalle ergeben sich daraus für 1.1 und 1.2?
05.05.2014, 14:19	Van Thom	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung die vierte Also x bewegt sich dann ja nur in dem Intervall $\begin{eqnarray} x\leq -1\wedge x>-\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ wenn ich mich nicht täusche. Bei 1.2 bewegt sich $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ dann in dem Intervall $\begin{eqnarray} x\leq -1\wedge x <-\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ . Stimmt das?
05.05.2014, 14:25	Van Thom	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung die vierte Müsste ich nicht die gleiche Lösung wie in meiner ersten Rechnung erhalten? also: $\begin{eqnarray} x>-\frac{1}{4}\wedge x<-1 \end{eqnarray}$
05.05.2014, 14:31	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung die vierte Das stimmt nicht. Die Teil-Lösungsmengen von 1.1 und 1.2 sind die x, die jeweils alle 3 Ungleichungen gleichzeitig erfüllen (wegen der " $\begin{eqnarray} \wedge \end{eqnarray}$ "-Verknüpfung). Wenn es Schwierigkeiten bei der Festlegung gibt, empfehle ich gern, die 3 Intervalle der Ungleichungen getrennt über einem Zahlenstrahl zu markieren. Die Lösungsmenge ist dann der Bereich, in dem sich die 3 Intervalle überlappen. Im übrigen hast Du das Zeichen zur -1 umgedreht. Wir sind jetzt nur noch im Bereich $\begin{eqnarray} x\geq -1 \end{eqnarray}$ . Denn Fall 2 $\begin{eqnarray} x<-1 \end{eqnarray}$ hatten wir bereits am Anfang erledigt.
05.05.2014, 15:18	Van Thom	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung die vierte Dann $\begin{eqnarray} (x\geq -1\wedge x<-\frac{1}{2}) \end{eqnarray}$ ?
05.05.2014, 15:25	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung die vierte Das ist die RICHTIGE Teillösung für 1.2! Wobei ich nicht sicher bin, ob Dir das bewußt war. Wie lautet ferner die Teillösung für 1.1?
05.05.2014, 15:54	Van Thom	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung die vierte Also dann $\begin{eqnarray} (x\geq -1\wedge x>-\frac{1}{4}) \end{eqnarray}$ ?
05.05.2014, 16:04	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung die vierte Ja, aber das kann man noch genauer einschränken. Welche x erfüllen beide Bedingungen gleichzeitig?
05.05.2014, 16:14	Van Thom	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung die vierte Ist das nicht auch $\begin{eqnarray} (x\geq -1\wedge x>-\frac{1}{4}) \end{eqnarray}$ ?
05.05.2014, 16:19	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung die vierte Hier solltest Du Dir unbedingt nochmal am Zahlenstrahl klarmachen, für welche x sich diese beiden Bereiche überlappen (Hinweis: Es bleibt dann nur noch 1 Bereich übrig!).
05.05.2014, 16:32	Van Thom	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung die vierte $\begin{eqnarray} -1\leq x<-\frac{1}{2}\wedge x>-\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ . Wenn das falsch ist gebe ich auf. Dankeschön für deine Mühe!
05.05.2014, 16:46	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsgleichung die vierte Nicht aufgeben, man muß es einmal verstanden haben, damit man es künftig reproduzieren kann. Wir suchen immer noch die Teillösung 1.1 und hatten raus $\begin{eqnarray} x\geq -1\wedge x>-\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ Oder klar ausgedrückt: Alle x, die sowohl größer/gleich -1 als auch größer als -1/4 sind. Das erfüllen alle x, die größer als -1/4 sind. Also reduziert sich die Teillösung 1.1 auf $\begin{eqnarray} x>-\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ Wenn Dir das klar ist, dann können wir nun die Gesamt-Lösungsmenge der Ungleichung bestimmen, denn die fehlt ja noch!

Neue Frage »

Antworten »

Betragsgleichung die vierte

Verwandte Themen