Wie bewiese ich das die leere Menge ungleich der einer Menge der leere Menge ist ?

03.05.2014, 01:53

cm_42

Wie bewiese ich das die leere Menge ungleich der einer Menge der leere Menge ist ?

Meine Frage:
Hallo an alle,

in meinem Informatikstudium (1. Semester) haben wir folgende Aufgabe bekommen: Zeigen Sie dass $\begin{eqnarray*} \emptyset \neq \{ \emptyset \} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich hatte die Idee dass | $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ | = 0 ist und |{ $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ }| = 1 und somit ist die Ungleichheit bewiesen. Allerdings glaube ich nicht dass es so einfach sein kann. Kann mir da jemand weiterhelfen ?

03.05.2014, 11:17

Iorek

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Wenn man kleinlich sein will, solltest du noch eine Begründung für $\begin{eqnarray*} |\{\emptyset\}|=1 \end{eqnarray*}$ angeben, also das Element was die Menge enthält noch explizit angeben. Ansonsten ist das "wirklich so einfach". Augenzwinkern

03.05.2014, 14:21

cm_42

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Da stellt sich mir jetzt die Frage wie dies funktioniert ?

Wir haben in der Vorlesung nur gesagt das die leere Menge der einer Menge gleich 1 ist und im Script is leider auch nichts zu finden ....

03.05.2014, 18:07

Iorek

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Zitat:

Original von cm_42
Wir haben in der Vorlesung nur gesagt das die leere Menge der einer Menge gleich 1 ist und im Script is leider auch nichts zu finden ....

Was meinst du damit? verwirrt

03.05.2014, 18:27

cm_42

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Mir ist nicht ganz klar wie ich folgendes beweisen soll: $\begin{eqnarray*} |\{ \€mptyset\} = 1| \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß das die leere Menge eine Teilmenge jeder Potenzmenge ist. Also: M = {1,2,3} dann ist $\begin{eqnarray*} P(\mathbb{M}) \equiv 2^{\mathbb{M}} = {\emptyset, 1 , 2 , 3 , 12, 13, 23, 123} \wedge |\mathbb{M}| = 8 \end{eqnarray*}$ . Aber waurm das ist dies dann bei der leeren Menge 1 und nicht 0 ?

03.05.2014, 18:30

cm_42

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Zitat:

Aber waurm das ist dies dann bei der leeren Menge 1 und nicht 0 ?

Schneller geschrieben, als nachgedacht sorry.

Also die Frage sollte lauten wie kann ich beweisen / zeigen das die Potenzmenge der leeren Menge 1 ist ? Mit $\begin{eqnarray*} 2^{0}=1 \end{eqnarray*}$ ?

03.05.2014, 18:56

Iorek

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Wenn dir diese Aussage schon zur Verfügung ist, könntest du über $\begin{eqnarray*} P(\emptyset)=\{\emptyset\} \end{eqnarray*}$ argumentieren, ja. Das muss aber gar nicht so "kompliziert" gemacht werden.

$\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ enthält kein Element, also ist nach Definition $\begin{eqnarray*} |\emptyset|=0 \end{eqnarray*}$ .

Enthält $\begin{eqnarray*} \{\emptyset\} \end{eqnarray*}$ ein Element? Falls ja, dann gib dieses Element einfach an. Damit ist dann $\begin{eqnarray*} |\{\emptyset\}||=1 \end{eqnarray*}$ (sofern es keine weiteren Elemente gibt, dann wäre die Mächtigkeit natürlich größer) und kann damit nicht gleich der leeren Menge sein.

03.05.2014, 19:19

cm_42

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Also wenn ich das Richtig verstanden habe wäre dann zum Beispiel : $\begin{eqnarray*} \emptyset \text{ keine Potenzmenge aber } 2^{|\emptyset|} \vee 2^{\{\emptyset\}} = 1 \end{eqnarray*}$ zwar theoretisch richtig aber es geht auch einfacher.

Aber die Menge $\begin{eqnarray*} \{ \emptyset \} \end{eqnarray*}$ enthält doch abgesehen von der leeren Menge auch keine Element also wäre es doch auch immer 0 oder ?

03.05.2014, 19:58

Iorek

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Zitat:

Original von cm_42
Also wenn ich das Richtig verstanden habe wäre dann zum Beispiel : $\begin{eqnarray*} \emptyset \text{ keine Potenzmenge aber } 2^{|\emptyset|} \vee 2^{\{\emptyset\}} = 1 \end{eqnarray*}$ zwar theoretisch richtig aber es geht auch einfacher.

Den Satz verstehe ich nicht.

Zitat:

Original von cm_42
Aber die Menge $\begin{eqnarray*} \{ \emptyset \} \end{eqnarray*}$ enthält doch abgesehen von der leeren Menge auch keine Element also wäre es doch auch immer 0 oder ?

Ich habe dir den wichtigen Teil dieser Aussage mal markiert. Es gibt ein Element in dieser Menge, somit kann es also nicht die leere Menge sein.

03.05.2014, 20:13

cm_42

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Ich wollte nur wissen ob es auch möglich ist das ganze auf die Potenzmenge zurückzuführen. Nach deiner Aussage aber ist das möglich.

Ah stimmt ich ging die ganze Zeit davon aus, dass die Leere Menge allein auch eine menge ist. Demnach wäre aber:

$\begin{eqnarray*} <br /> \emptyset \in \emptyset \wedge |\emptyset| = 1<br /> \end{eqnarray*}$

04.05.2014, 02:31

weisbrot

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Zitat:

Wenn man kleinlich sein will, solltest du noch eine Begründung für $\begin{eqnarray*} |\{\emptyset\}|=1 \end{eqnarray*}$ angeben

naja, das ist mehr oder weniger nach definition so.

Zitat:

ich ging die ganze Zeit davon aus, dass die Leere Menge allein auch eine menge ist.

ist sie doch auch. verwirrt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} <br /> \emptyset \in \emptyset \wedge |\emptyset| = 1<br /> \end{eqnarray*}$

was auch immer du damit meinst verwirrt

es ist doch offenbar $\begin{eqnarray*} \emptyset\notin\emptyset \end{eqnarray*}$ , was übrigends schon zum beweis der ursprünglichen aussage reicht.

lg

04.05.2014, 09:27

Iorek

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Zitat:

Original von weisbrot

Zitat:

Wenn man kleinlich sein will, solltest du noch eine Begründung für $\begin{eqnarray*} |\{\emptyset\}|=1 \end{eqnarray*}$ angeben

naja, das ist mehr oder weniger nach definition so.

Darum ja auch das "kleinlich". Im ersten Semester folgt vieles direkt aus der Definition, gerade diese Sachen sollten dann aber formal korrekt begründet werden.

04.05.2014, 09:58

Huggy

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Man kann den Beweis auch direkt mit der Definition der Gleichheit von Mengen führen. Zwei Mengen sind definitionsgemäß genau dann gleich, wenn sie die gleichen Elemente haben. Nun besagt die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \{ \emptyset \} \end{eqnarray*}$ gerade

$\begin{eqnarray*} \emptyset \in \{ \emptyset \} \end{eqnarray*}$

Andererseits hat die leere Menge $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ definitionsgemäß gar keine Elemente. Es gilt also insbesondere

$\begin{eqnarray*} \emptyset \notin \emptyset \end{eqnarray*}$

Also haben die beiden Mengen $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{ \emptyset \} \end{eqnarray*}$ nicht die gleichen Elemente, sind also nicht gleich. Man vermeidet so, den Begriff der Kardinalität einer Menge zu benutzen, welcher sich außerhalb der naiven Mengenlehre als erstaunlich schwierig erweist.

04.05.2014, 13:52

weisbrot

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wenn man richtig funkyfresh sein will, folgt die aussage auch aus dem fundierungsaxiom Augenzwinkern

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