ONB beweisen

03.05.2014, 08:46

voodoo666

ONB beweisen

Hallo, versuche mich an folgendem Beweis:
[attach]34097[/attach]

Momentan bin ich noch bei Aufgabenteil a).
Meine Überlegung war: Wenn ich zeige dass H(u)* H(u)transponiert = In, dann ist H(u) orthogonal und somit bilden die Spalten eine ONB.

Ist das der richtige Weg? Wie würdet ihr das angehen?
Grüße und danke im voraus

03.05.2014, 08:56

tmo

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Ja, das ist der richtige Ansatz. Einfach drauflosrechnen. Es geht alles wunderbar auf.

03.05.2014, 09:25

voodoo666

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Zitat:

Original von tmo
Ja, das ist der richtige Ansatz. Einfach drauflosrechnen. Es geht alles wunderbar auf.

Bei mir leider nicht ganz. Ich habe kurz gezeigt dass gilt H(u) = H(u)transponiert.

Also berechne ich nun:
$\begin{eqnarray*} H(u) * H(u) \end{eqnarray*}$

Nach Anwenden der Distributivgesetze für Matrixmultiplikation komme ich auf folgendes Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} H(u) * H(u) = I_{n} - \frac{4}{u^{T}*u } u*u^{T} + \frac{4}{u^{T}*u } uu^{T} * uu^{T} \end{eqnarray*}$

Damit ich letztendlich auf die Einheitsmatrix komme, müsste demnach ja gelten:
$\begin{eqnarray*} uu^{T} = uu^{T} * uu^{T} \end{eqnarray*}$

Was verstehe ich hier nicht?

03.05.2014, 09:40

tmo

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Beim letzten Summand muss der Nenner quadriert werden. Und dann kürzt sich das einmal mit dem $\begin{eqnarray*} u^Tu \end{eqnarray*}$ von oben weg und alles passt.

03.05.2014, 12:56

voodoo666

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Zitat:

Original von tmo
Beim letzten Summand muss der Nenner quadriert werden. Und dann kürzt sich das einmal mit dem $\begin{eqnarray*} u^Tu \end{eqnarray*}$ von oben weg und alles passt.

Wie blöd von mir.
Bin im Aufgabenteil b bisher gut weitergekommen, nur eine Frage hätte ich noch.
Ich bin mir nicht sicher ob ich das orthogonale Komplement genau definiert hab.
Ich soll das orthogonale Komplement von span{u} benutzen.

Liege ich richtig in der Annahme dass es sich dabei um diese Menge handelt?
$\begin{eqnarray*} \left\{ v\in \mathbb R ^{n} | \forall u\in span\left\{ u\right\}: <v,u> = 0 \right\} \end{eqnarray*}$

03.05.2014, 13:00

tmo

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Ja, um diese Menge handelt es sich. Wobei es natürlich ausreicht die Orthogonalität nur für u zu testen und nicht für den ganzen Span von u.

03.05.2014, 13:19

voodoo666

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Zitat:

Original von tmo
Ja, um diese Menge handelt es sich. Wobei es natürlich ausreicht die Orthogonalität nur für u zu testen und nicht für den ganzen Span von u.

Okay, dann geht auch alles auf. Was soll denn bei b für ein allgemeines v rausgekommen? Ich setze einfach ein aber da löst sich ja nix auf.

Grüße

04.05.2014, 07:51

tmo

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Du kannst doch jeden Vektor zerlegen in die zu u parallele und die zu u senkrechte Komponente.

05.05.2014, 19:12

voodoo666

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Zitat:

Original von tmo
Du kannst doch jeden Vektor zerlegen in die zu u parallele und die zu u senkrechte Komponente.

Ich habe lange überlegt, aber ich finde einfach nicht heraus wie ich so einen allgemeinen Vektor darstellen könnte.
Grüße

06.05.2014, 06:25

tmo

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Da gibt es nicht viel herauszufinden. Es gilt

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^n = \langle u \rangle \oplus \langle u \rangle^\perp \end{eqnarray*}$ , also hat jeder Vektor die Darstellung $\begin{eqnarray*} v = \lambda u + y \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ wie aus b) ist (senkrecht zu u).

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