Was sagt die Stammfunktion aus? Unterschied zw. der mittleren Temperatur und dem arithm. Mittel?

03.05.2014, 11:15

möchtegern77

Was sagt die Stammfunktion aus? Unterschied zw. der mittleren Temperatur und dem arithm. Mittel?

Meine Frage:
Also, ich frage mich, ob die Stammfunktion das schildert, was ich unten beschreibe, bei meinen eigenen Ansätzen.

Und wenn es noch jemand gerne tun würde (ist aber zweitrangig), könnte er mir vielleicht die lineare Substitution erklären smile

Und zur mittleren Temperatur will ich nur wissen, was der Unterschied zum arithmetischen Mittel ist. Ich dachte immer das arithmetische Mittel und die mittlere Temperatur wären beides die Durchschnittswerte.

Meine Ideen:
Also, mit der Stammfunktion kann man die Fläche oder das Integral berechnen und ich weiß auch wie das geht, aber was sagt die Fläche aus? Jetzt auf eine Temperatur und Zeit bezogen.. Meine Idee ist: Sie zeigt bis zu dieser bestimmten Zeit, die gesamte Temperatur aufeinanderaddiert an, die aufgetaucht ist.

Und unter der mittleren Temperatur stelle ich mir die Durchschnittstemperatur vor des Verlaufs. Ich weiß wie man sie berechnet. Aber was unterscheidet sie vom arithmetischen Mittel?

03.05.2014, 12:30

möchtegern77

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Gibt es hier auch zufällig Leute, die antworten? Big Laugh

03.05.2014, 12:38

Bonheur

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Ein wenig Geduld kann man doch noch erwarten. Augenzwinkern

Ich weiß nicht genau, welches du meinst.

Redest du gerade von "Rekonstruktion von Beständen" ?

Angenommen du hast eine Funktion, die dir die Änderungsrate angibt d.h wie schnell sich die Temperatur zu einem bestimmten Zeitpunkt ändert.
Wenn du nun diese Funktion integrierst, dann kannst du mit der Bestandsfunktion berechnen, wie groß die Temperatur zu einem gewissen Zeitpunkt ist.
Beim arithmetischen Mittel addiert man alle Werte und dividiert diese durch die Anzahl der Werte.
Die Durchschnittstemperatur berechnet sich mit dem "Differenzenquotient".

03.05.2014, 13:12

möchtegern77

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Ja, hast ja Recht. Dankesehr smile

Also, ich meine nicht "Rekonstruktion von Beständen", das habe ich verstanden smile

Ich meine eigentlich die Stammfunktion von der Bestandsfunktion.. Und ich verstehe nicht, was die mittlere Temperatur bzw. der mittlere Wert aussagt, wenn nicht den Durchschnitt.

Also, hier habe ich z.B. eine Aufgabe in der ich die Bestandsfunktion gegeben habe und berechnen soll:
1. Mittlere Temperatur
2. Mittlere Abkühlungsgeschwindigkeit
3. Mittlere Änderungsrate
4. Momentane Änderungsrate

1. Bei der mittleren Temperatur, ist mir bewusst was ich machen muss:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-a} \int_a^b \! T(t) \, dt \end{eqnarray*}$

Dennoch fehlt mir das Wissen, was die mittlere Temperatur ist, wenn sie nicht die Durchschnittstemperatur ist.

2. Die mittlere Abkühlungsgeschwindigkeit würde ich eigentlich, weil es mich durch das "mittlere" an die Rechnung der mittleren Temperatur erinnert, auch so ähnlich berechnen mit dem Bruch: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-a} \end{eqnarray*}$ jedoch weiß ich nicht, wovor ich den setzen soll. Ich würde ihn vor die Stammfunktion der Abkühlungsgeschwindigkeit setzen... Dabei weiß ich aber weder was die Gleichung der Abkühlungsgeschwindigkeit ist, noch die Stammfunktion dieser.
Diese wird in den Lösungen sowieso so berechnet: $\begin{eqnarray*} \frac{T(t_2) - T(t_1)}{t_2-t_1} \end{eqnarray*}$

3. Die mittlere Änderungsrate würde ich aus den bei 2 genannten Gründen so berechnen, dass ich den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-a} \end{eqnarray*}$ vor das Integral der Änderungsrate, also vor das Integral der Ableitung der Bestandsfunktion T(t) setze. Also:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-a} \int_a^b \! T'(t) \, dt= \int_a^b \left[T(t) \right] \end{eqnarray*}$
und das wird ebenso in den Lösungen anders berechnet. Und zwar mit $\begin{eqnarray*} \frac{T'(t_2) - T'(t_1)}{t_2-t_1} \end{eqnarray*}$

4. Und um die momentane Änderungsrate zu berechnen, würde ich einfach in die Gleichung für die Änderungsrate mein t einsetzen. Jedoch ist mir noch nicht ganz klar, was die Änderungsrate ist, bzw. warum die Änderungsrate nicht die erste Ableitung ist, sondern die zweite.

Ich danke dir!!

03.05.2014, 14:29

möchtegern77

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Wenn du meine Fragen nicht ganz verstehst, frag ruhig nach Big Laugh

03.05.2014, 16:41

möchtegern77

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okay, cool, danke.

Mit Geduld hat das eig gar nichts zu tun. Ich weiß einfach nicht, ob mir jemand noch meine Frage beantworten wird oder nicht.. Und dafür kriege ich ja auch keine Benachrichtigung oder so...

03.05.2014, 18:30

Bonheur

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Zitat:

Original von möchtegern77
okay, cool, danke.

Mit Geduld hat das eig gar nichts zu tun. Ich weiß einfach nicht, ob mir jemand noch meine Frage beantworten wird oder nicht.. Und dafür kriege ich ja auch keine Benachrichtigung oder so...

Du bekommst schon deine Antwort. Ich war bloß nicht da.
Übrigens: Wenn ich auf deine Fragen antworte, dann kannst du auch erwarten, dass ich zurück schreibe. Augenzwinkern

Ich habe oben beschrieben, wie du die mittlere Abkühlungsgeschwindigkeit berechnest.
Die Bestandsfunktion gibt an, wie groß die Temperatur zu einem beliebigen Zeitpunkt ist.
Wenn du die Bestandsfunktion ableitest, dann hast du die sogenannte Änderungsrate(Ableitungsfunktion und Steigungsfunktion), die dir angibt, wie schnell sich die Temperatur zu einem beliebigen Zeitpunkt ändert.

In der Mathematik unterscheidet man zwischen der momentanen und der mittleren Änderungsrate(Abkühlungsgeschwindigkeit).
Die mittlere Abkühlungsgeschwindigkeit berechnet man mit dem "Differenzenquotienten".
Die momentane Abkühlungsgeschwindigkeit berechnet man mit dem Differentialquotienten.

Angenommen wir haben die Bestandsfunktion gegeben, dann können wir die mittlere Abkühlungsgeschwindigkeit berechnen:

Bestandsfunktion: $\begin{eqnarray*} T(t) \end{eqnarray*}$ .

Die mittlere Abkühlungsgeschwindigkeit berechnet man immer zwischen zwei Punkten - deshalb auch mittlere Abkühlungsgeschwindigkeit.

$\begin{eqnarray*} m_{\text {Mittlerer Anstieg}}=\frac{\Delta{T(t)}}{\Delta{t}}=\frac{T(t_2)-T(t_1)}{t_2-t_1} \end{eqnarray*}$

Hast du das soweit verstanden ?

03.05.2014, 21:23

möchtegern77

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Jap, danke smile

Ich habe jetzt verstanden, dass zum Beispiel bei einer Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ wenn man den mittleren Wert berechnen will, es das gleiche ist, ob man $\begin{eqnarray*} \frac{1}{b-a} \cdot \int_a^b \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{F(x_2) - F(x_1)}{x_2-x_1} \end{eqnarray*}$ , richtig?

In meiner Aufgabe und deren Lösung hatte mich das bloß verwirrt, weil die das manchmal so und manchmal so gemacht hat und jetzt ist mir aufgefallen, dass es doch das Gleiche ist.

03.05.2014, 21:27

möchtegern77

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und bei de mittleren Änderungsrate wäre es für die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1} \end{eqnarray*}$ , oder?

04.05.2014, 11:53

Bonheur

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Korrekt.

Angenommen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2} \end{eqnarray*}$

Intervall: $\begin{eqnarray*} I:[1;2] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2-1} \cdot \int\limits_1^2 \! x^{2} \, dx=\frac{7}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{F(2) - F(1)}{2-1} =\frac{\frac{8}{3}-\frac{1}{3}}{2-1}=\frac{7}{3} \end{eqnarray*}$

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