Vollständige Induktion ln(x+1)

03.05.2014, 14:24	Tempi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion ln(x+1) Meine Frage: Hi, ich soll mit der vollständigen Induktion zeigen, dass für die n-te Ableitung von ln(1+x) gilt: $\begin{eqnarray} f^{n}(x) =\frac{(-1)^{n+1}(n-1)!}{(x+1)^n} \end{eqnarray}$ Ich bin mir aber so unsicher mit dem was ich hier mache und wollte hier mal um Rat fragen wie weit ich mit meinem Ansatz richtig liege. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} Induktionsanfang: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n=1 \Rightarrow f'(x)= \frac{(-1)^{1+1}(1-1)!}{(x+1)^1}= \frac{1} {x+1}= f'(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Induktionsschritt: \end{eqnarray}$ Angenommen, für ein beliebiges, aber festes n gilt: $\begin{eqnarray} f^{n}(x) =\frac{(-1)^{n+1}(n-1)!}{(x+1)^n} \end{eqnarray}$ Dann gilt auch: $\begin{eqnarray} f^{n+1}(x) =\frac{(-1)^{n+1+1}(n+1-1)!}{(x+1)^n+1}= \frac{(-1)^{n+2}(n)!}{(x+1)^{n+1}}= \frac{(-1)^{n}(-1)^{2}(n)!}{(x+1)^{n+1}}=\frac{(-1)^{n}(n)!}{(x+1)^{n}(x+1)} \end{eqnarray}$ Beweis: $\begin{eqnarray} f^{n+1}(x)=[f^n(x)]'=[\frac{(-1)^{n+1}(n-1)!}{(x+1)^n} ]'=(-1)^{n+1}(n-1)! \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{(x+1)^n} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-\frac{n(x+1)^{n-1}}{(x+1)^{2n}}* (-1)^n(-1)(n-1)! \end{eqnarray*}$ Und jetzt komme ich nicht weiter
03.05.2014, 14:36	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Kürzen und zusammenfassen heissen die Zauberworte.
03.05.2014, 14:48	Tempi	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, okay $\begin{eqnarray} -\frac{n(x+1)^{n-1}}{(x+1)^{2n}} (-1)^n(-1)(n-1)! \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-\frac{n(x+1)^{n}(x+1)^{-1}}{(x+1)^{n}(x+1)^{n}}* (1)^n(n-1)! \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =- (1)^n\frac{n(x+1)^{-1}}{(x+1)^{n}}* (n-1)! \end{eqnarray}$ Kann ich $\begin{eqnarray} (n-1)! \end{eqnarray*}$ irgendwie umschreiben?
03.05.2014, 15:38	Tempi	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ich habs. $\begin{eqnarray} n(n-1)! = n! \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\frac{1^nn(x+1)^{-1} (n-1)!}{(x+1)^{n}}=\frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n}(x+1)}=\frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}} \end{eqnarray}$
03.05.2014, 16:29	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch wenn Du auf das richtige Endergebnis gekommen bist, solltest Du doch noch mal die Zusammenfassungen von (-1)^n überprüfen. Da ist ein wenig schief gelaufen, so dass es eher an der 50-50-Chance liegt, dass Du am Ende das richtige herausbekommen hast. Das Ziel war es eigentlich auch $\begin{eqnarray} (-1)^{n+2} \end{eqnarray}$ zu erhalten und nicht $\begin{eqnarray} (-1)^n \end{eqnarray}$ (Auch wenn das dasselbe ergibt).
03.05.2014, 17:32	Tempi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst weil $\begin{eqnarray} (-1)^n \end{eqnarray}$ für n gerade = 1 und n ungerade = -1 ist? Spielt das wirklich eine Rolle obwohl $\begin{eqnarray} \frac{(-1)^n n!}{(x+1)^{n+1}} \equiv \frac{(-1)^{n+2} n!}{(x+1)^{n+1}} \end{eqnarray}$ ?
Anzeige

04.05.2014, 23:57	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Induktion geht es ja gerade darum, eine Aussage, die für n gilt auch für n+1 zu zeigen und das spiegelt sich erst einmal nicht in deiner Formel wider, denn sie enthält nicht den Term $\begin{eqnarray} (-1)^{(n+1)+1} \end{eqnarray}$ sondern $\begin{eqnarray} (-1)^{n} \end{eqnarray}$ . Wie gesagt: Vom Wert her macht das keinen Unterschied, aber inhaltlich fehlt ein Schritt, auch wenn er recht offensichtlich ist. Bei der Anmerkung zu den Umformungen meinte ich die zweite Zeile im Beitrag von gestern 14:48. Da fasst Du $\begin{eqnarray} (-1)^n(-1) \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} 1^n \end{eqnarray}$ zusammen, was aber nur für ungerade n korrekt ist. Im Posting direkt danach wird dann aus $\begin{eqnarray} -(1^n) \end{eqnarray}$ plötzlich $\begin{eqnarray} (-1)^n \end{eqnarray}$ , was auch nur für ungerade n korrekt ist. Das sind kleine Flüchtigkeitsfehler, die nicht sein müssen und unnötig Punkte kosten.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »