Summe aus drei Wurzeln irrational

03.05.2014, 15:33	Diana Sänger	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe aus drei Wurzeln irrational Meine Frage: Wie kann ich bei der Gleichung $\begin{eqnarray} \sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{7} = c \end{eqnarray}$ zeigen, dass c eine irrationale Zahl ist? Meine Ideen: Ich würde $\begin{eqnarray} \sqrt{7} \end{eqnarray}$ von c subtrahieren, und dann beide Seiten quadrieren. Aber weiter weiß ich auch nicht. Edit Equester: Latex korrigiert.
03.05.2014, 21:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dann eine der beiden verbliebenen Wurzeln auf einer Seite isolieren und nochmal quadrieren.
04.05.2014, 00:14	Diana Sänger	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dann komme ich auf $\begin{eqnarray} 0 = c^{4} -4 c^{3} + 28 c^{2} - 40 \end{eqnarray}$ Wie muss ich dann fortfahren?
04.05.2014, 00:41	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann nicht sein - zeig mal genau deine Rechnung. Wenn du es so machst, wie ich es vorgeschlagen habe, verschwindet nur eine der beiden verbliebenen Wurzeln $\begin{eqnarray} \sqrt{7} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \sqrt{10} \end{eqnarray}$ , nicht beide zugleich. EDIT: Ok, ich sehe es - du hast fatalerweise den wichtigsten Term überhaupt im Ergebnis vergessen: $\begin{eqnarray} 0 = c^4 - 4\sqrt{7}c^3+28c^2 - 40 \end{eqnarray}$ Umgeformt nach der Wurzel ergibt dies $\begin{eqnarray} \sqrt{7} = \frac{c^4 +28c^2 - 40}{4c^3} \end{eqnarray}$ Wichtig ist nur, dass der Term rechts bei angenommener Rationalität von $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ auch rational ist...

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