Komplexe Funktionen

03.05.2014, 17:47	LovePhysiqs	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Funktionen Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe kürzlich mit meinem Physik-Studium begonnen und der Mathe-Schock sitzt mir noch tief in den Knochen. :P Ich habe ein paar Fragen zu den Rechenmethoden, Bereich Komplexe Zahlen. a) Drücke $\begin{eqnarray} i\sin(it) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos(it) (t \in \mathbb R ) \end{eqnarray}$ durch reelle Funktionen aus. b) Schreibe $\begin{eqnarray} \cos(a+ib) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sin(a+ib) \end{eqnarray}$ in der Form $\begin{eqnarray} x+iy (a, b, x, y \in \mathbb R ) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Leider habe ich erstmal keine Idee, wie ich an die Aufgaben herangehen soll. zu a) Ich kenne die Euler'sche Form mit $\begin{eqnarray} e^{it} = \cos(t) + i\sin(t) \end{eqnarray}$ wobei t der Winkel, bzw. das Bogenmaß ist. In kartesischen Koordinaten wäre $\begin{eqnarray} e^{it} = (\cos(t), \sin(t)) \end{eqnarray}$ Ich würde also vermuten, dass es sich bei $\begin{eqnarray} i\sin(it) \end{eqnarray}$ um den $\begin{eqnarray} \Im (z) \end{eqnarray}$ handelt und bei $\begin{eqnarray} \cos(it) \end{eqnarray}$ um den Realteil. Was aber muss ich anstellen, um die in Form einer reellen Funktion zu bringen. Vielleicht frage ich auch vorsichtshalber einmal, was eine reelle Funktion genau ist. Müssen die Komponenten nur aus $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ sein? zu b) Gleiches Problem wie bei a). Ich weiß nicht, was ich hier machen muss, um die Angaben in die "normale" Darstellung der komplexen Zahlen zu bringen. Ich danke euch schonmal im Vorfeld und wenn ihr Seiten oder Bücher kennt, wo ich mir die Anwendung der Rechentechniken hierzu mal anschauen kann, dann wäre ich euch sehr dankbar. LG
03.05.2014, 18:05	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Drück doch mal $\begin{eqnarray} \cos \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sin \end{eqnarray}$ durch die Exponentialfunktion aus, dass sollte dir bei a) und b) helfen.
03.05.2014, 18:30	LovePhysiqs	Auf diesen Beitrag antworten »
Oha... wie bekomme ich die denn in die Exponentialform? Ich stehe gerade voll auf dem Schlauch.
03.05.2014, 21:32	LovePhysiqs	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre die Exponentialform von Aufgabe a) dann $\begin{eqnarray} e^{2it} \end{eqnarray}$
03.05.2014, 21:48	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Du weißt, wie du von einer komplexen Zahl z=a+ib den Real- und den Imaginärteil berechnest? Dann wende das auf die komplexe Zahle $\begin{eqnarray} e^{it} = \cos(t) + i\sin(t) \end{eqnarray}$ an.
03.05.2014, 21:59	LovePhysiqs	Auf diesen Beitrag antworten »
Bisher habe ich Realteil und Imaginärteil nur abgelesen, besonders, wenn die Komplexe Zahl als x+iy dargestellt ist. "Ausgerechnet" habe ich das glaub ich noch nicht. Die Euler'sche Darstellung ist ja zusammengesetzt aus cos(t) + i sin(t). Wenn ich die Aufgabestellung zu a) richtig verstanden habe, dann muss ich ja beide Terme einzeln in reellen Funktionen ausdrücken. Wie berechne ich denn den Im und Re? Eigentlich stehen die beiden Teile doch schon in der Aufgabenstellung, oder?
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03.05.2014, 22:09	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte an $\begin{eqnarray} Re(z)=\frac{z+\bar{z}}{2} \end{eqnarray}$ und entsprechend für den Imaginärteil.
05.05.2014, 20:51	LovePhysiqs	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Hilfe.^^

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