integration durch substitution im komplexen

04.05.2014, 07:42

user50

integration durch substitution im komplexen

hi,

hat man im komplexen eine analoge aussage wie im reellen bei der integration durch substitution?
ich habe folgendes im netz gefunden www .proofwiki.org/wiki/Complex_Integration_by_Substitution
kann man dieses resultat auf ein komplexwertiges $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ( notation vom link ) verallgemeinern?

z.B wenn ich zeigen möchte, dass für $\begin{eqnarray*} \gamma(t) = exp(it) \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} t \in [0,\pi/2] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(z)=sin(z) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(1)-cos(i) = \int_\gamma f(z) dz \end{eqnarray*}$ gilt, ist es dann legitim so vorzugehen:

$\begin{eqnarray*} \int_\gamma f(z) dz = \int_0^{pi/2} sin(\gamma(t))\gamma'(t) dt = \int_{0}^{pi/2} sin(exp(it))i exp(it) dt=(?) \int_{1}^{i} sin(u) du = cos(1)-cos(i) ? \end{eqnarray*}$
es ist ja nicht so genau klar, was mit den integrationsgrenzen 1 bis i gemeint ist.
ich vermute also mal, dass wenn das gebiet auf dem f holomorph ist, nicht gerade einfach zusammenhängend ist,
also beim weg nicht nur die endpunkte relevant sind, es ein gegenbeispiel für die richtigkeit der obigen substitution geben sollte.
ich habe aber bis jetzt noch nichts gefunden, vielleicht könnt ihr mir ja helfen.

viele grüße

04.05.2014, 10:07

zyko

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RE: integration durch substitution im komplexen
Bei holomorphen Funktionen ist der Integrationsweg beliebig --> Das Integral ist nicht vom Weg sondern nur von den Endpunkten abhängig.
S. auch
http://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe_Funktion
Unterpunkt
Cauchyscher Integralsatz

-->
Integral längs Weg A ist gleich dem Integral längs Weg A-B+B gleich 0 + Integral längs Weg B.

04.05.2014, 10:43

Leopold

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RE: integration durch substitution im komplexen

Zitat:

Original von zyko
Bei holomorphen Funktionen ist der Integrationsweg beliebig --> Das Integral ist nicht vom Weg sondern nur von den Endpunkten abhängig.

So pauschal, wie das hier formuliert wird, ist das falsch. Nicht nur auf die Holomorphie kommt es an, sondern auch auf die Topologie des zugrunde liegenden Gebiets.

Im konkreten Fall ist $\begin{eqnarray*} \sin(z) \end{eqnarray*}$ auf dem Gebiet $\begin{eqnarray*} G = \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ holomorph. Besser geht es nicht. Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ einfach zusammenhängend. Daher kann man in der Tat schreiben

$\begin{eqnarray*} \int_1^{\operatorname{i}} \sin(z) ~ \dd z = \cos(1)-\cos(\operatorname{i}) = \cos(1) - \cosh(1) \end{eqnarray*}$

Aber wie schon gesagt: Im allgemeinen hängt das Integral vom Weg ab, so daß weder Schreibweise noch Schlußweise zulässig sind. Berühmtestes Beispiel: Wenn $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ der einmal positiv durchlaufene Einheitskreis ist, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \frac{\dd z}{z} = 2 \pi \operatorname{i} \neq 0 \end{eqnarray*}$

04.05.2014, 17:24

user50

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danke für die antwort.

es ist also so, dass jede substitution im komplexen eine wegänderung impliziert,
also geht das ohne einschränkung nur für ein f das auf einem einfach zusammenhängenden gebiet
holomorph ist, und beide wege da drinne liegen.
das müsste doch auch allgemeiner gelten, wenn der durch die substiution
resultierte weg homotop zum ursprungsweg auf dem holomorphiegebiet von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist, oder nicht?
braucht man dann hier, dass die substitution biholomorph ist?

ich muss gestehen, dass ich mich nicht konkret genug ausgedrückt habe,
denn was ich im ausgangspost suche, ist folgendes:

hat jemand ein gegenbespiel parat, wo so eine substitution fehlschlägt, aber $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig auf einem
gebiet ist das den ganzen weg und das innere des weges beinhaltet? am besten für einen
nicht geschlossenen weg.
z.b. $\begin{eqnarray*} 1/z \end{eqnarray*}$ ist ja auf jedem kreis um den ursprung nicht stetig.

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