Summe reziproker Teiler einer vollkommenen Zahl

04.05.2014, 11:50	Vezzril	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe reziproker Teiler einer vollkommenen Zahl Sei n eine vollkommene Zahl mit Teilern $\begin{eqnarray} t_1, t_2, ..., t_k \end{eqnarray}$ wobei t_k = n. Damit ist $\begin{eqnarray} t_1 + t_2 + ... + t_k = 2n \end{eqnarray}$ laut Definition. Warum ist nun $\begin{eqnarray} 1/t_1 + 1/t_2 + ... + 1/t_k = 2 \end{eqnarray}$ ? Das hieße ja nichts anderes als $\begin{eqnarray} \frac{t_1}{n} + \frac{t_2}{n} + ... + \frac{t_k}{n} \end{eqnarray}$ . Nun müsste ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{t_1} = \frac{t_k}{n} \end{eqnarray}$ ist bzw. $\begin{eqnarray} \frac{1}{t_x}= \frac{t_{k+1-x}}{n} \end{eqnarray}$ gilt ?! Und wie mache ich das?
04.05.2014, 12:46	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe reziproker Teiler einer vollkommenen Zahl hallo, ich mach dir mal ein beispiel, damit die sache klarer wird: 6=1+2+3 12=1+2+3+6 1/1+1/2+1/3+1/6 =6/6+3/6+2/6+1/6 =1/6(6+3+2+1)=1/612=2. Na, fällt dir jetzt was auf? gruss ollie3
06.05.2014, 18:03	Vezzril	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ja.. schon. Ich weiß aber nicht wie ich das "verpacken" kann?
06.05.2014, 18:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Durchläuft $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ alle positiven Teiler von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , dann durchlaufen im selben Zug die Komplementärteiler $\begin{eqnarray} \frac{n}{t} \end{eqnarray}$ auch die gesamt Menge der positiven Teiler von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ - mehr steckt hier doch nicht drin. Und diese Eigenschaft gilt nicht nur für alle vollkommenen Zahlen, sondern für alle positiven ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ .

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