Monotonieuntersuchung mit Ungleichungen

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04.05.2014, 16:36	möchtegern77	Auf diesen Beitrag antworten »
Monotonieuntersuchung mit Ungleichungen Meine Frage: 1. Wenn man f(x) mit Ungleichungen auf Monotonie untersucht, reicht es dann z.B. zu untersuchen: f(x)>0 oder muss man auch f(x)<0 untersuchen? Erschließt es sich daraus, wenn x>t ist, alles, dass x<t sind, dann streng monoton fallend wären? 2. Wie untersucht man mit Ungleichungen das Monotonieverhalten z.B. bei f(x)=x³+3x²+2? Weil es dabei ja mehrere Monotoniewechsel gibt. Meine Ideen: 1. Also, ich könnte mir vorstellen, dass es reicht 2. hmmm, ich wüsste es, wie man es ohne Ungleichungen macht, aber will es ja mit Ungleichungen können. dann würde ich machen: x³+3x²+2>0 <=> x³+3x² >-2 <=> x²*(x+3)>-2 Und dann wüsste ich auch nicht weiter... Danke...
04.05.2014, 17:46	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Wie kommst du darauf? Der Teil unterhalb der x-Achse kann doch ganz anders aussehen? Oder auch links von der y-Achse, falls du das gemeint hast. Abgesehen davon untersucht man bei der Monotonie nicht die Funktion selbst, sondern deren Ableitung. 2. Schau nochmals schnell nach, was für eine Untersuchung der Monotonie gilt. Wie erwähnt hängt das vielmehr mit der Ableitung zusammen. Dann versuche es erneut.
04.05.2014, 18:15	möchtegern77	Auf diesen Beitrag antworten »
1. ich hatte mich vertan. Ich meinte f'(x)>0 2. Und auch hierbei meine ich f'(x)=x³+3x²+2 Also nochmal, sorrryyy
04.05.2014, 18:23	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok. Dann sieht das natürlich besser aus. Nun, da man meist mit f'(x) = 0 beginnt reicht es in der Tat f'(x) > 0 zu bestimmen. Alles andere ist dann offensichtlich f'(x) < 0. 2. Tipp: Suche die Nullstellen und nutze die Punktprobe um die Intervalle mit f'(x)>0 zu bestimmen.
04.05.2014, 19:00	möchtegern77	Auf diesen Beitrag antworten »
1. wie meinst du, dass man mit f'(x)=0 beginnt? 2. Wie meinst du das mit den Nullstellen? Also die Nullstellen würde ich ja berechnen, wenn ich f'(X)=0 setzen würde und dann in den Intervallen das berechnen will. Ich weiß nicht, was die Punktprobe ist, aber auf diese Weise könnte ich das berechnen.. Ich will nur wissen, wie man das mit einer Ungleichung macht.
04.05.2014, 19:06	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das was ich sagte . Wenn du die Nullstellen der Ableitung bestimmst, dann weißt du doch wo es einen möglichen Vorzeichenwechsel gibt, wo also f'(x) > 0 zu f'(x) < 0 umschwappen kann. Es ist also nur sinnvoll die Stellen f'(x) = 0 zu finden und dann einen Punkt links (und/oder rechts) davon zu nehmen und zu schauen welcher Funktionswert vorliegt, also f'(x) > 0 oder < 0. Schon kannst du die Intervalle entsprechend zuteilen.
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05.05.2014, 10:43	möchtegern77	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm... ok und warum kann man das nicht, wie sonst auch direkt mit der ungleichung machen und dann bekommt man direkt die Werte raus, für die x streng monoton fallend oder steigend ist?
05.05.2014, 10:52	möchtegern77	Auf diesen Beitrag antworten »
*für die f(x) streng monoton steigend ist
05.05.2014, 11:52	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, du hast keine lineare Ungleichung. Ist also nicht ganz so einfach .
05.05.2014, 20:58	möchtegern77	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht das jetzt oder geht das nicht?! OMG, ich schreibe übermorgen Mathe-LK Abitur und will jetzt wissen, ob das geht! Generell kann ich mir nicht vorstellen, wie man eine Funktion mit mehreren Monotoniewechseln mit einer Ungleichung auf Monotonie untersuchen kann, und das will ich aber evtl. können Und zwar kann ich mir das nicht vorstellen, weil ich mich frage, was da anderes stehen kann als: irgendeine Zahl=t t>x bzw. t<x Weil wenn es mehrere Monotoniewechsel gibt, müssen da ja auch mehrere Aussagen stehen, wie: Für 2>x ist f(x) streng monoton steigend, für 2<x<3 ist f(x) streng monoton fallend und für x<3 ist f(x) wieder streng monoton steigend. Bitte erklär mir das
05.05.2014, 21:23	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir mal ein einfaches Beispiel. Wir haben den Graphen h(x) = x^3-3x und sollen sie auf Monotonie untersuchen. 1. Schritt: Ableitung bilden. h'(x) = 3x^2-3 2. Schritt: Nullstellen finden h'(x) = 0 3x^2-3 = 0 3(x^2-1) = 0 x_1 = -1 x_2 = 1 Wir haben nun also zwei Nullstellen. Hier ändert sich das Verhalten der Kurve. Machen wir eine Punktprobe mit h'(0) -> h'(0) = -3 Also zwischen den beiden Nullstellen haben wir eine fallende Monotonie. Außerhalb ist sie steigend. Kontrollieren wir das im Graphen: Dabei ist das grüne noch die Ableitung. Ok?
05.05.2014, 22:24	möchtegern77	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das meine ich immernoch nicht! Danke, dass du dir die Mühe machst, aber ich hatte doch schon mehrmals gesagt, dass ich das auf diese Weise verstanden habe!! Mir geht es um die UNgleichungen, nicht um h'(x)=0, sondern ob man für ganzrationale Funktionen wie bei 5x^3+4x^2+2x+7=f(x) auch die Monotonie so herausfinden kann, indem man direkt eine UNgleichung aufstellt, wie h'(x)>0... Das kann ich bei Funktionen, die kein oder ein Extremum haben, machen, wie z.B.: h'(x)=e^x5x : 0>(e^x)5x 0>5x 0>x Da weiß man also, dass h(x) bei x<0 streng monoton fallend ist. Kannst du das vielleicht jetzt besser nachvollziehen? Es geht mir nur um den Weg mit den UNgleichungen und du zeigst mir den Weg mit der Gleichung h'(x)=0... Ich will wissen, OB das für eine Funktion wie oben genannt wird, geht und WIE es geht und nicht wie es mit der notwendigen und hinreichenden Bedingung geht bzw. mit Punkteinsetzung. Ich hoffe du weißt jetzt was ich meine.. Und wenn nicht, dann frag mich einfach erklär mir aber nicht, wie das mit h'(x)=0 funktioniert Danke
05.05.2014, 22:33	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
^^ Das was ich gesagt habe ist genau das Vorgehen das man für eine Ungleichung nutzt, die nicht auf etwas lineares zurückgeführt werden können. Du berechnest h'(x) = 0 um Aussagen über h'(x) > 0 bzw. h'(x) < 0 treffen zu können. Denn du weißt ja, dass sich vor und nach h'(x) = 0 die < > drehen (solange keine geradzahlige Nullstelle). Ok?
05.05.2014, 22:44	möchtegern77	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, sorry, hatte mir das etwas anders vorgestellt. Dann dankeschön und gute Nacht
05.05.2014, 22:59	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Solange du die Vorstellung nun erweitert hast und das Vorgehen klar ist, bin ich zufrieden . Gute Nacht und gerne. Und viel Erfolg!

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