Flächenberechnung Dreieck

04.05.2014, 16:41	Tienso	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächenberechnung Dreieck Meine Frage: Hallo Leute, folgende Aufgabenstellung muss ich lösen und zwar die Fläche eines Dreiecks im zweidimensionalen Raum durch die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ =(-7,7) und $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ =(2,-4) definiert ist. Meine Ideen: Hab leider keine Anhaltspunkte und finde nichts in der Lektüre. Man sagte mir, dass man die Aufgabe mit dem Skalarprodukt, also aacos(a,b) lösen könnte. Stimmt das?
04.05.2014, 17:21	Robert93	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektor Flächenberechnung Dreieck Ist noch ein dritter Punkt gegeben? Oder sollen die Vektoren a und b und der Nullvektor ein Dreieck bilden?
04.05.2014, 17:31	Tienso	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, leider nur die beiden Vektoren gegeben. Habe leider keine Ahnung wie ich vorgehen soll
04.05.2014, 23:14	opi	Auf diesen Beitrag antworten »
Am einfachsten geht es mit dem Kreuzprodukt (Vektorprodukt): $\begin{eqnarray} A=\frac 12 \vec a \times \vec b \end{eqnarray}$ Ein "dritter Punkt" wird nicht benötigt, denn zwei Vektoren spannen ein Dreieck auf. Dessen Lage ist egal.
04.05.2014, 23:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt fertige Formeln, mit denen du die Aufgabe lösen kannst. opi hat dir eine genannt. Sie ist allerdings nicht ganz richtig, da Betragsstriche fehlen, und hat den Nachteil, nur im dreidimensionalen Raum zu gelten. Nun kann man deine Vektoren zwar künstlich zu dreidimensionalen ergänzen. Das Ganze wirkt dann allerdings doch etwas aufgesetzt. Im Zweidimensionalen gibt es eine Formel, die Determinanten verwendet. Sie kann auch mit Hilfe eines Skalarprodukts geschrieben werden. Aber es geht auch ohne den ganzen Aufwand. Sogar sehr einfach. Zeichne ein Dreieck, das von den Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a} = \begin{pmatrix} -7 \\ 7 \end{pmatrix} \, , \ \ \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aufgespannt wird. Du kannst zum Beispiel die Punkte $\begin{eqnarray} O = (0,0) \, , \ A = (-7,7) \, , \ B = (2,-4) \end{eqnarray}$ dafür nehmen. Dann ist $\begin{eqnarray} \vec{a} = \overrightarrow{OA} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{b} = \overrightarrow{OB} \end{eqnarray}$ . Zeichne um das Dreieck $\begin{eqnarray} OAB \end{eqnarray}$ herum das kleinstmögliche umfassende Rechteck mit achsenparallelen Seiten. Indem man von seinem Inhalt die Flächeninhalte dreier rechtwinkliger Dreiecke und eines kleineren Rechtecks subtrahiert, erhält man den Inhalt des Dreiecks $\begin{eqnarray} OAB \end{eqnarray}$ . Alle Flächeninhalte können unmittelbar berechnet werden.

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