Wahrscheinlichkeit eines "Rekords"

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Clac Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit eines "Rekords"
Meine Frage:
Wir betrachten die zufällige Anzahl der Rekorde in einer rein zufälligen Permutation von 1 bis n. Es sei das Ereignis "j-te umgedrehte Karte ist ein Rekord", dann ist

a)Zeigen Sie:

b)Berechnen Sie für

c)Zeigen Sie: Für gilt

d)Berechnen Sie die Verteilung von für die Fälle n=2, n=3, n=4.



Meine Ideen:
Ich habe in Stochastik noch nicht wirklich den Durchblick. Die meisten Vorgehensweisen kann ich noch nicht nachvollziehen. Ich hoffe, dass jemand die Aufgabe mit mir durchgehen kann.

Ich fang mal mit der a) an: Also, da es sich um eine Permutation handelt, ist die Anzahl der Möglichkeiten des Grundraums: . Nach dem Laplace-Modell ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für Aj durch: . Aber bei der Wahrscheinlichkeit von Aj tu ich mich schwer. Kann mir hier jemand weiterhelfen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Was verstehst du unter "Rekord (in) einer Permutation"? Ist mir noch nie untergekommen, und eine Kurzrecherche im Internet ergab keine erhellenden Erkenntnisse. unglücklich


EDIT: Von den Werten her könnte man mutmaßen, dass du als Rekord in der Permutation bezeichnest, falls ist, d.h. (lokale) Maximumstelle aller Permutationswerte bis hin zu dieser Stelle? verwirrt
Clac Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung, das war bei mir ein Beispiel, dass wir im Skript hatten, deshalb hab ich da nicht mehr dran gedacht. Es ist damit gemeint, dass man n Karten hat und auf jeder Karte steht eine Zahl 1 bis n (also z.B. n=20 sind 20 Karten mit den Zahlen 1 bis 20). Dann legt man aus dem Stapel eine zufällige Karte hin, z.B. die 7. Die zweite Karte wird unter die erste gelegt, wenn sie kleiner (in dem Fall als 7 ist) und es wird ein neuer Stapel gebildet, wenn die Zahl größer ist. Mit anderen Worten: Solange die Zahlen der Karten kleiner (z.B. erst 3 dann 5) sind als die erste eines Stapels (die 7), werden die Karten darunter gelegt, ist eine Zahl aber größer (z.B. kommt die 10) wird ein neuer Stapel angefangen. Das geht so lange, bis man keine Karten mehr hat. Die Anzahl der Stapel sind die Anzahl der Rekorde, so haben wir einfach die Stapel getauft. Ich hoffe, ich habs richtig erklärt.
Gedanklich kann man sich die Wahrscheinlichkeiten auch gut vorstellen: Die erste Karte ist immer ein Rekord also 1, bei der 2. ist die Wahrscheinlichkeit 1/2, dass sie größer ist, bei der 3. 1/3 usw. Daher auch 1/j. Aber wie ich das formal beweise, das weiß ich leider nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe mal gleich zu c) über, denn a),b) sind eh nur die Spezialfälle k=1 und k=2 dieser Aussage. Einfach die Permutationen "zählen", die im Durchschnitt liegen:

Wir starten bei Index (d.h. gehen dann rückwärts n-1,n-2,... bis hin zu Position 1) und zählen jeweils, wieviele günstige Möglichkeiten es für die Wahl von gibt:

1.) Ist gleich einem der Indizes , dann muss notwendig das Maximum der noch verbliebenen Werte , d.h. man hat nur eine günstige Möglichkeit.

2.) Ist keiner dieser Indizes, so ist jede der verbliebenen Möglichkeiten eine günstige Wahl für


Dies miteinander multipliziert bekommt man



günstige Möglichkeiten, was dann die angegebene Laplacewahrscheinlichkeit bedeutet.
Clac Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir leid, aber ich kann deinem Gedankengang leider nicht wirklich folgen. Was meinst du eigentlich mit ? Ich kenne diese Darstellung nicht. Mich verwirren die vielen Indizes, deshalb habe ich auch nicht verstanden, wie du auf
kommst. Könntest du mir das bitte nochmal erklären? Das wäre sehr nett. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

ist der Wert der Permutation an der Position , für j=1..n .

Zum Produkt: Die Indizes j aus Fall 1.) steuern nur Faktor 1 zum Produkt der Möglichkeiten bei, diese Faktoren kann man also weglassen. Es verbleiben also die Faktoren aus Fall 2.), und deren Produkt ergibt eben jenes



Genauer kann ich es nicht erklären - es zu verstehen, obliegt nun deiner Anstrengung.
 
 
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