Beweis mit Erfahrungswert

04.05.2014, 17:01

Abo

Beweis mit Erfahrungswert

Meine Frage:
Sei X eine Zufallsvariable mit Werten in $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass dann gilt:

a) $\begin{eqnarray*} \mathbb E X =\sum\limits_{k=1}^\infty P(X\geq k) \end{eqnarray*}$ .

b) $\begin{eqnarray*} \mathbb E X^2 =\sum\limits_{k=1}^\infty (2k-1) P(X\geq k) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich weiß leider gar nicht, wie ich hier ansetzen muss. Das Einzige, was ich habe, ist die Definition des Erfahrungswertes (und die dazugehörigen Rechenregeln zur Additivität, Homogenität und Monotonie):
$\begin{eqnarray*} \mathbb E X =\sum\limits_{k=w \in \Omega_0} X(w) \cdot P({w}) \end{eqnarray*}$ .

Kann mir jemand einen Ansatz sagen? Ich hab leider wirklich keine Idee.

04.05.2014, 18:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Abo
$\begin{eqnarray*} \mathbb E X =\sum\limits_{k=w \in \Omega_0} X(w) \cdot P({w}) \end{eqnarray*}$

Richtig, aber "näher" an der Behauptung sind schon mal die Darstellungen

$\begin{eqnarray*} \mathbb E X = \sum\limits_{n\in\mathbb{N}_0} n\cdot P(X=n) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \mathbb E X^2 = \sum\limits_{n\in\mathbb{N}_0} n^2\cdot P(X=n) \end{eqnarray*}$ .

Versuch doch, die Summen in der Behauptung auf diese Darstellungen zurückzuführen. Dabei dürfte

$\begin{eqnarray*} P(X\geq k) = \sum_{n=k}^{\infty} P(X=n) \end{eqnarray*}$

hilfreich sein.

04.05.2014, 20:37

Abo

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Vielen Dank! An diese Darstellung hatte ich gar nicht mehr gedacht. Ich glaub, so könnte es gehen:

a) $\begin{eqnarray*} \mathbb E X =\sum\limits_{k=1}^\infty P(X\geq k) = \sum\limits_{k=1}^\infty \sum\limits_{n=k}^\infty P(X=n) \end{eqnarray*}$

Dabei hat man 1 mal den Summand P(X=1), 2 mal den Summand P(X=2), 3 mal den Summand P(X=3) ... und k mal den Summand P(X=k). Also gilt mit dem großen Umordnungssatz:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \sum\limits_{n=k}^\infty P(X=n) \mathbb = \sum\limits_{n=1}^\infty n \cdot P(X=n)= \sum\limits_{n\in\mathbb{N}_0} n\cdot P(X=n) = \mathbb EX \end{eqnarray*}$

Damit hätte man die Behauptung auf eine bekannte Form zurückgeführt. Muss ich zuvor eigentlich noch die absolute Konvergenz der Reihe beweisen oder darf ich die wegen der Endform einfach voraussetzen?

b) Bei der zweiten Behauptung hatte ich folgende Idee:
$\begin{eqnarray*} \mathbb E X^2 =\sum\limits_{k=1}^\infty (2k-1) P(X\geq k) = (\lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^n (2k-1))(\lim_{l \to \infty } \sum\limits_{n=k}^l P(X=n))=n^2 \cdot \sum\limits_{n=k}^\infty P(X=n) =\sum\limits_{n\in\mathbb{N}_0} n^2\cdot P(X=n)= \mathbb EX^2 \end{eqnarray*}$

Sind meine Gedanken soweit richtig?

04.05.2014, 22:26

HAL 9000

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Deine Gleichungskette bei b) mit dieser "Grenzwerttrennung" ist höchst absonderlich. verwirrt

Warum nicht auch hier der Umordnungssatz - schließlich sind alle Summanden nichtnegativ:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=k}^{\infty} (2k-1)P(X=n) = \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=1}^n (2k-1)P(X=n) \end{eqnarray*}$

06.05.2014, 21:30

Abo

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Ja, hab ich mich fast schon gedacht. Wollte nur mal ausprobieren, ob es (so ähnlich) nicht auch geht. Aber mit dem Umordnungssatz ist es wohl wirklich besser. Danke. smile

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