Stetige Fortsetzung bei Einpunktkompaktifizierung

04.05.2014, 17:45	Moritz91	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Fortsetzung bei Einpunktkompaktifizierung Meine Frage: Hallo, es sei Y ein topologischer Raum und es seien die natürlichen Zahlen mit der diskreten Topologie versehen. Also ist jede Abbildung f:N-->Y stetig. Die Frage ist: Was für Eigenschaften muss f erfüllen, damit f eine stetige Fortsetzung f:N+-->Y hat, wobei N+ die Einpunktkompaktifizierung ist. Meine Ideen:* Ich bin leider etwas überfragt, ich könnte mir prinzipiell vorstellen, dass Sujektiviät nicht schadet^^.
04.05.2014, 18:10	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität schadet tatsächlich nicht, aber nützt hier rein gar nichts... Aber denk z.B. an stetige Fortsetzungen von Funktionen auf Teilmengen von $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ . Was hast du dort immer überprüft, um herauszufinden, ob eine Funktion in einen bestimmten Punkt stetig fortsetzbar ist?
04.05.2014, 18:21	Moritz91	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke erst einmal. Ich erinnere mich daran, dass man überpürfen musste, ob der links- und rechtsseitige GW übereinstimmen. Ist das auch hier das Prinzip? Nur bin ich noch ein bisschen überfragt, wie ich mir das ganze bei den natürlich Zahlen vorstellen soll. LG Moritz
04.05.2014, 18:28	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Etwas wie "links- und rechtsseitiger Grenzwert" ist nur in den reellen Zahlen sinnvoll (ist dort aber schon ein guter Ansatz). Mal ein Beispiel: Ich gebe dir $\begin{eqnarray} f(x,y)=\frac{x^4-y^4}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (x,y)\in\mathbb R^2\setminus\{0\} \end{eqnarray}$ und du müsstest überprüfen, ob $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ fortsetzbar ist. Was würdest du tun?
04.05.2014, 19:06	Moritz91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich, ich würde gucken, ob der GW in Null exisitiert, was er in deinem Beispiel tut. Also sind die Funktionen, die stetig fortsetzbar sind, die bei denen der Grenzwert von n gegen unendlich exisitiert? LG Moritz
04.05.2014, 19:15	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Und diese Vermutung muss jetzt nur noch bewiesen bzw. "nachgerechnet" werden.
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