Gruppenhomomorphismen

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ZerO22 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenhomomorphismen
Hallo,

ich soll überprüfen, ob folgende Abbildungen Gruppenhomomorphismen von einer Gruppe G in Aut(G) sind und ggf den Kern bestimmen:

1) g \rightarrow (x \rightarrow gx)

2) g \rightarrow (x \rightarrow g^{-1}xg

3) g \rightarrow (x \rightarrow gxg^{-1}

Ich konnte bereits beweisen, dass alle 3 Abbildungen Gruppenhomomorphismen sind. (Ich hoffe das stimmt)

Die kerne der 3 Abbildungen sind jeweils nur das neutrale Element von G.

Ist das auch korrekt? Mir scheint, dass die Lösung viel zu einfach ist.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

magst du mal zeigen, wie dein Beweis zur Homomorphie der 2. Abbildung aussieht? (Es sei denn du benutzt die Rechtsschreibweise für Abbildungen, dann würde ich das gerne bei 1. und 3. sehen.)

Auch deine Berechnung zum Kern des dritten Hom. würde ich gerne sehen. Erst dann kann man dir aufzeigen, wo da die Fehler liegen.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenhomomorphismen
Zitat:
Original von ZerO22
Ich konnte bereits beweisen, dass alle 3 Abbildungen Gruppenhomomorphismen sind. (Ich hoffe das stimmt)

Das trifft nur auf eine der Abbildungen zu.

Edit: Hm, da habe ich es irgendwie geschafft, für diesen Satz zu lange zu brauchen smile
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Che,

insofern die Linksschreibweise für Abbildungen benutzt wird, sind auch durchaus 2 der Abbildungen Homomorphismen.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Auch dann nicht Augenzwinkern Eine ist dann nicht einmal wohldefiniert. [wenn man Bild und Urbild wie angegeben vorschreibt]
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hast recht, ich bin blind :P

Edit: Hatte mir früher mal ne Regel überlegt: Checke alles 100 mal nach, wenn Che etwas anderes meint. Das stimmt wohl noch immer Big Laugh

Bin ma raus.
 
 
ZerO22 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich nehme beispielsweise folgende Abbildung:



Ich nenne diese Abbildung mal , wobei .

Seien und aus G. Dann erhalten wir:



Also ist das ein Gruppenhomomorphismus.

Mir kommt da so ein Verdacht...Bei der anderen Abbildung gilt sicherlich dann:

, d.h. die Reihenfolge stimmt nicht mehr, aber dies verstößt gegen die Bedingung für Gruppenhomomorphismen, oder?

P.S. Ich habe der Einfachheit halber mal für beide Gruppen das selbe Verknüpfungszeichen benutzt.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ZerO22
Mir kommt da so ein Verdacht...Bei der anderen Abbildung gilt sicherlich dann:


Ja, wenn hier die Abbildung aus 2) bezeichnen soll.

Zu 3) musst du aber noch zeigen, dass jedes auch wirklich ein Automorphismus von ist.

Zitat:

Das taucht hier allerdings aus dem Nichts auf. Und die letzte Gleichheit war auch nicht wirklich nennenswert Augenzwinkern
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