Integral sin*cos

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04.05.2014, 19:46	kadoy	Auf diesen Beitrag antworten »
*Integral sincos** Hey, ich soll folgendes Integral berechnen ,durch partiele Integration und ein gewisser Punkt verwirrt mich. $\begin{eqnarray} \int \! sin(x)cos(x) \, dx \end{eqnarray}$ die allgemeine Formel lautet ja $\begin{eqnarray} \left[u(x)v(x)\right] = \int \! u'(x)v(x) \, dx +\int \! u(x)v'(x) \, dx \end{eqnarray}$ dann um umformen $\begin{eqnarray} \left[u(x)v(x)\right] - \int \! u'(x)v(x) \, dx = \int \! u(x)v'(x) \, dx \end{eqnarray}$ wenn ich das anwende und sin(x) ist mein u(x) und cos(x) ist mein v(x) komme ich auf $\begin{eqnarray} \left[sin(x)cos(x)\right] - \int \! cos^2(x) \, dx = \int \! -sin^2(x) \, dx \end{eqnarray}$ das scheint aber falsch zu sein nur weiß ich nicht warum
04.05.2014, 20:00	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest den Ausdruck $\begin{eqnarray} \sin(x)\cos(x) \end{eqnarray}$ mithilfe eines Additionstheorems vereinfachen. Dann musst du nicht mal partiell integrieren. $\begin{eqnarray} \int u\cdot v\,dx=u\cdot v-\int u\cdot v'\, dx \end{eqnarray}$ Ich würde $\begin{eqnarray} u'=\sin(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v=\cos(x) \end{eqnarray}$ wählen.
04.05.2014, 20:05	kadoy	Auf diesen Beitrag antworten »
na ja die aufgabe sagt aber dass ich es mit partieller Integration machen muss außerdem würde ich halt auch gern meinen fehler verstehen
04.05.2014, 20:12	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Fehler sollte es sein, dass du u und v nicht "gut genug" wählst. Normalerweise wählt man auch einen Faktor als u' bzw. v'.
04.05.2014, 20:20	kadoy	Auf diesen Beitrag antworten »
ich dachte u und v wählen sich mehr oder weniger von alleine e:nehm ich zb sin(x) = u und cos(x) = v' bringt mich das weiter?
04.05.2014, 20:27	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das würde auch funktionieren. Aber das ist nicht immer egal. Zum Beispiel wenn du $\begin{eqnarray} \int x\cdot e^x\, dx \end{eqnarray}$ hast. Wenn du es hier nicht richtig wählst, dann kommst du nie zum Ziel. Normalerweise ist es so, dass du als u' das wählst, was beim integrieren immer einfacher wird und als v eben das was beim differenzieren leichter wird. Das ist aber auch wohl keine allgemeingültige Regel. Es kommt halt auch darauf an was du integrieren musst.
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04.05.2014, 20:31	kadoy	Auf diesen Beitrag antworten »
bei deinem bsp. würde ich dann u(x)=x wählen v'(x)=e^x weil es einfacherer ist die Stammfunktion von e^x zu bestimmen?
04.05.2014, 20:32	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre richtig. Bei solchen Ausdrücken wie denen oben kann man sich aber wohl schon an die Grundregel halten, dass v' als "e-Teil" gewählt wird.
04.05.2014, 20:33	kadoy	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei meiner Aufgabe habe ich nun $\begin{eqnarray} \left[-cos^2(x)\right] - \int \! sin(x)cos(x) \, dx = \int \! cos(x)sin(x) \, dx \end{eqnarray}$
04.05.2014, 20:37	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Anstelle von $\begin{eqnarray} -\cos^2(x) \end{eqnarray}$ musst du auf $\begin{eqnarray} \sin^2(x) \end{eqnarray}$ kommen.
04.05.2014, 20:43	kadoy	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt ich hab u und v vertauscht
04.05.2014, 20:46	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie lautet dein Ergebnis?
04.05.2014, 20:48	kadoy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left[1/2sin^2(x)\right] = \int \! sin(x)cos(x) \, dx \end{eqnarray}$ denke damit bin ich fertig danke für deine Hilfe =)
04.05.2014, 20:52	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, aber bitte mit Integrationskonstante c. Um nochmal auf meine oben angesprochene Alternative zurückzukommen. Es ist $\begin{eqnarray} \sin(x)\cos(x)=\frac12\sin(2x) \end{eqnarray}$ Das kann man dann "normal" integrieren. Alternativen können nie schaden.
04.05.2014, 21:08	kadoy	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm ich komm nich dahin ist es soweit richtig? $\begin{eqnarray} \int \! -cos(x)cos(x) \, dx = -cos(x)cos(x)-\int \! -cos(x)(-sin(x)) \, dx \end{eqnarray*}$
04.05.2014, 21:19	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das eine neue Aufgabe? Dann bitte in einen neuen Thread. Ansonsten ist mir gerade auch nicht so recht klar, was du da gerade machst, bzw. in welchem Zusammenhang das mit dem Ausdruck oben steht.
04.05.2014, 21:39	kadoy	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab versucht deine alternative zu berechnen
04.05.2014, 21:42	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Alternative benötigst du keine partielle Integration (oder was auch immer du da gemacht hast). Das geht ganz normal in dem du die Kettenregel "umkehrst".
04.05.2014, 21:44	kadoy	Auf diesen Beitrag antworten »
ach so na ja ich hab halt einfach erstmal eingesetzt was du angegeben hast
04.05.2014, 21:47	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sagte ja, dass man es nun "normal" integrieren könne. Also ohne partieller Integration. Dann wäre die Alternative ja genau das selbe wie vorher. Nur umständlicher....

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