Beweis Ring oder Körper

05.05.2014, 16:44

Van Thom

Beweis Ring oder Körper

Die symmetrische Differenz $\begin{eqnarray*} A\Delta B \end{eqnarray*}$ zweier Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist durch $\begin{eqnarray*} A\Delta B=(A\backslash B)\cup(B\backslash A) \end{eqnarray*}$ definiert.
Untersuchen Sie, ob $\begin{eqnarray*} (\mathcal P (\mathbb N),\Delta, \cap) \end{eqnarray*}$ ein Ring, unitär, kommutativ bzw. Körper ist.

Zu zeigen ist ja das

$\begin{eqnarray*} (\mathcal P(\mathbb N),\Delta) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe ist und $\begin{eqnarray*} (\mathcal P(\mathbb N),\cap) \end{eqnarray*}$ assoziativ ist. Ab da kann ich mich weiter vorarbeiten.

Ich fange mit $\begin{eqnarray*} (\mathcal P(\mathbb N),\Delta) \end{eqnarray*}$ an.

Assoziativität:

Ich dachte mir dazu das ich mit drei Elemente definiere also $\begin{eqnarray*} \{a\},\{b\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{c\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \{a\},\{b\},\{c\}\in\mathcal P(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ .

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (\{a\}\Delta\{b\})\Delta\{c\}=\{a\}\Delta (\{b\}\Delta\{c\}) \end{eqnarray*}$

Die erste Frage die ich mir stelle kann ich die Beweise so durchziehen? Dann würde ich nämlich so weiter machen.

05.05.2014, 17:57

weisbrot

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RE: Beweis Ring oder Körper
es gibt doch nicht nur ein-elementige mengen in der potenzmenge. das geht so also nicht.
außerdem gehört noch distributivität dazu.
lg

05.05.2014, 18:05

tmo

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Wenn man die Potenzmenge mit der Menge $\begin{eqnarray*} 2^\mathbb N := Abb(\mathbb N,\{0,1\}) \end{eqnarray*}$ identifiziert, kriegt man geschenkt, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal P(\mathbb N) = 2^\mathbb N \end{eqnarray*}$ ein Ring ist, weil von der Ringstruktur auf $\begin{eqnarray*} \{0,1\} \end{eqnarray*}$ eine Ringstruktur durch punktweise Operationen induziert wird.

Man muss sich dann nur noch klarmachen, dass die beiden Operationen symmetrische Differenz und Durchschnitt auf der Potenzmenge via der Identifikation gerade der punktweisen Addition und Multiplikation entsprechen. Das ist aber sofort klar und deutlich weniger Arbeit als die Assoziativität der symmetrischen Differenz oder die Distributivität nachzuprüfen Augenzwinkern

05.05.2014, 18:09

Van Thom

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RE: Beweis Ring oder Körper

Zitat:

Original von weisbrot
es gibt doch nicht nur ein-elementige mengen in der potenzmenge. das geht so also nicht.
außerdem gehört noch distributivität dazu.
lg

Wie würde es denn funktionieren?

05.05.2014, 21:33

weisbrot

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RE: Beweis Ring oder Körper
du musst eben stattdessen beliebige teilmengen nehmen und die ringaxiome nachprüfen. oder du machst es so wie tmo vorgeschlagen hat.
lg

05.05.2014, 22:09

Van Thom

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RE: Beweis Ring oder Körper
Also mir würde da jetzt auf anhieb einfallen das $\begin{eqnarray*} \mathbb N=\{2,4,6,8,...\}\cup\{1,3,5,7,9,11,...\} \end{eqnarray*}$ gilt. Allerdings brauche ich ja alleine schon für die Assoziativität drei Mengen. Würde es demnach klappen wenn ich noch die leere Menge $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ dazu nehme? Die leere Menge ist auf jeden Fall in der Potenzmenge enthalten. Demnach müsste ja gelten:

$\begin{eqnarray*} \mathcal P(\mathbb N)=\{\{2,4,6,8,...\},\{1,3,5,7,9,11,...\},\emptyset\} \end{eqnarray*}$

Demnach könnte ich $\begin{eqnarray*} A=\{2,4,6,8,...\}~,~B=\{1,3,5,7,9,11,...\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C=\emptyset \end{eqnarray*}$ definieren und damit die Axiome beweisen. Kann man das so machen oder gibt es dabei auch ein Problem?

07.05.2014, 20:36

weisbrot

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RE: Beweis Ring oder Körper

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathcal P(\mathbb N)=\{\{2,4,6,8,...\},\{1,3,5,7,9,11,...\},\emptyset\} \end{eqnarray*}$

das würde heißen, dass die potenzmenge nur aus diesen 3 mengen besteht, was nicht stimmt.

du hast anscheinend ein grundlegendes verständnisproblem was beweise angeht.
hast du schonmal eine aussage der form " für alle x gilt 'Aussage(x)' " bewiesen?
dazu muss man 'Aussage(x)' für beliebige x zeigen - das heißt nicht, dass du dir eins aussuchen darfst, für das du es zeigst, sondern, dass es unbestimmt bleiben muss.
die aussage für z.b. assoziativität ist hier $\begin{eqnarray*} \forall A,B,C : (A\triangle B)\triangle C = A\triangle (B\triangle C) \end{eqnarray*}$ - es gilt also diese gleichung für beliebige A,B,C zu zeigen, das unter benutzung zuerst der definition der symmetrischen differenz, und dann unter ben. von rechenregeln, die du schon für mengen kennst.
lg

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