Beispielsammlung Extremwertaufgaben

13.08.2004, 17:39

grybl

Beispielsammlung Extremwertaufgaben

Hier findest du eine Auswahl von Extremwertbeispielen (+ Ergebnis), die du zum Üben verwenden kannst. Jedes Beispiel ist mit einem link zu einem Thread versehen, in dem du Fragen zum Lösungsweg stellen kannst.

Bitte poste keine vollständigen Lösungswege (die kannst du mir gern per pn schicken), damit auch andere die Möglichkeit haben, die Beispiele selbst zu lösen.

Ich empfehle dir, bevor du an das Lösen der Beispiele gehst, das Workshop Extremwertaufgaben von Leopold durchzuarbeiten.

Extremwertbeispiele:

Von einem rechteckigen Stück Blech mit 16 cm Länge und 10 cm Breite werden an den Ecken kongruente Quadrate ausgeschnitten und aus dem Rest eine Schachtel gebildet. Wie muss man die Seitenlänge der auszuschneidenden Quadrate wählen, um eine Schachtel von größtem Rauminhalt zu erhalten?

Ergebnis: Seitenlänge = 2

Fragen
Einem gleichschenkligen Trapez (a = 6 cm, c = 2 cm, h = 4 cm) soll das flächengrößte Rechteck (l, b) eingeschrieben werde, von dem eine Seite in der Basis des Trapezes liegt.

Ergebnis: l = b= 3

Fragen
Berechne den Zentriwinkel jenes Kreissektors, der bei gegebener Kreissektorfläche minimalen Umfang hat.

Ergebnis: Zentriwinkel = 114,5°

Fragen
Einem Drehkegel (r = 8 dm, h = 15 dm) sollen ein Drehzylinder und eine darauf ruhende Kugel so eingeschrieben werden, dass die Summe beider Volumina ein Maximum wird. Berechne den Rauminhalt der beiden Körper.

Ergebnis: V = 623,69 dm³

Fragen
Ein rotationssymmetrisches Werkstück hat die Form eines Zylinders mit auf der einen Seite aufgesetzter Halbkugel und auf der anderen Seite aufgesetztem Drehkegel. Die Radien von Zylinder, Halbkugel und Drehkegel sind gleich. Die Höhe des Drehkegels verhält sich zu seinem Radius wie 15 : 8. Das Volumen des Werkstücks ist 333 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ cm³. Wie ist das Werkstück zu dimensionieren, damit die Oberfläche minimal wird?

Ergebnis: r = 6; h = 1,5; H = 11,25 ; O = 523,08 cm²

Fragen
Einer Halbellipse (b²x²+a²y²=a²b² mit $\begin{eqnarray*} y\geq 0 \end{eqnarray*}$ ) ist das Trapez mit dem größten Flächeinhalt einzuschreiben, das die große Achse der Ellipse als Grundlinie hat. Berechne den Umfang und den Flächeinhalt dieses Trapezes.
Halbellipse und Trapez rotieren um die große Achse der Ellipse. Berechne das Verhältnis der Volumina beider Drehkörper.

Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} A\ =\ \frac{9}{4\sqrt{3}}\ ab\ \approx\ 1,299\ ab \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u\ =\ \sqrt{a^2+3b^2}\ +\ 3a \end{eqnarray*}$
4 : 3

Fragen
Eine Firma erzeugt Überraschungseier. Die zwei Teilhülsen bestehen im Vollschnitt aus zwei Halbellipsen.
Ellipse 1: 16x² + 25y² = 400 mit $\begin{eqnarray*} y\geq 0 \end{eqnarray*}$
Ellipse 2: 64x² + 25y² = 1600 mit $\begin{eqnarray*} y\leq 0 \end{eqnarray*}$
Man möchte dem Überraschungsei ein möglichst großes drehzylindrisches Objekt einlegen. Berechne dazu die Maße und das Volumen des Drehzylinders mit maximalen Volumen, der im Überraschungsei Platz hat.

Ergebnis: r=4,08, h=6,93, V=362,41cm³

Fragen
Eine Hyperbel in 1. Hauptlage mit a = 3 und b = $\begin{eqnarray*} \sqrt {2} \end{eqnarray*}$ wird von der Geraden x = 13 geschnitten. Dem so gebildeten Hyperbelsegment ist das umfangsgrößte Rechteck so einzuschreiben, dass eine Seite auf der Geraden zu liegen kommt. Wie groß ist der Umfang dieses Rechtecks?

Ergebnis: u = 24

Fragen
Berechne die Länge der größten Sehne, die man in der Ellipse x² + 3y² = 3 von einem Nebenscheitel ziehen kann.

Ergebnis: $\begin{eqnarray*} s\ =\ \frac{3}{2}\cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Fragen
Welcher Punkt der Hyperbel 2x² - 3y² = 6 hat vom Punkt P(5/0) den kleinsten Abstand?

Ergebnis: Q ( 3/2) oder Q(3/-2)

Fragen
Gegeben sind die Funktionen $\begin{eqnarray*} f_t(x)=t*x - (1 - t) *x^2 ( t \neq 0; t \neq 1) \end{eqnarray*}$ . Für welchen Wert t wird der Inhalt der von der zugehörigen Kurve und der x - Achse eingeschlossenen Fläche ein Extremwert. Wie groß ist er?

Ergebnis: t = 3

Fragen
Ein rechteckiges Fenster mit aufgesetztem Rundbogen soll bei möglichst großer Fläche eine Umrahmung von nur 6 m haben. Welche Maße sind für das Fenster zu wählen? Wie groß ist die Fläche?

Ergebnis: A = 2,52 m²

Fragen
Das Fenster aus Aufgabe 12 soll eine fläche von 250 dm² erhalten. Wie ist es auszuführen, damit die Kosten für den rahmen minimal werden?

Ergebnis: u = 59,76 dm

Fragen
Die Fabrik F liegt abseits der geradlinigen Strasse von A nach B , wobei der Winkel w(ABF) ein rechter ist. (AB = 1500 m; BF =600m) Sie soll von A aus an die Wasserleitung angeschlossen werden. Die Kosten für die Verlegung betragen auf der Strasse r = 72 € /lfd. m und im Gelände s= 90€/lfd. m .
In welcher Entfernung y von A muß die geradlinige Abzweigung von der Straße nach F erfolgen, damit es möglichst kostengünstig wird?

Ergebnis: y = 700 m

Fragen
Die Zahl 60 soll so in zwei Summanden zerlegt werden, daß deren Produkt ein Maximum wird.

Ergebnis: beide Summanden sind 30

Fragen
Eine Strecke a ist so in zwei Teile aufzuteilen, dass die Summe aus den Quadrate der teilstrecken am kleinsten wird.

Ergebnis: die Streckenteile sind gleich lang

Fragen
Zwischen zwei sich rechtwinklig kreuzenden Straßen liegt ein dreieckiges Grundstück mit 80m bzw. 60m Straßenfront. Auf ihm soll ein rechteckiger, möglichst großer Bauplatz abgesteckt werden. WelcheAbmessungen sind dem Bauplatz zu geben, wenn

a)Zwei Seiten an den Strassen anliegen,

b)Die Rückfront des Hause mit der hinteren Begrenzung des Grundstücks zusammenfällt?

Ergebnis a: 30m, 40 m, 1200 m²
Ergebnis b : 24m, 50m, 1200 m²

Fragen
Zwei Orte A und B haben von einer geradlinig verlaufenden Eisenbahnstrecke die Abstände AC = a = 5 km. und BD = b = 7 km.
Die Gleislänge CD = c = 12 km. An der Strecke CD soll ein Bahnhof E so errichtet werden, dass die Gesamtentfernung (e+d) der Orte A und B von E möglichst klein wird.

Ergebnis: CE = 5 km, $\begin{eqnarray*} \sqrt{98 }, \sqrt{50} \end{eqnarray*}$

Fragen
Bestimme die größte Länge l einer Platte, die von einem Flur mit der Breite a in den rechtwinklig weiterführenden Flur der Breite b gebracht werden kann.

Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} l\ =\ \frac{a}{\cos(\arctan\sqrt[3]{\frac{b}{a}})}\ +\ \frac{b}{\sin(\arctan\sqrt[3]{\frac{b}{a}})}\ =\ \sqrt{(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2})^3} \end{eqnarray*}$

Fragen

Wie sollte man eine Extremwertaufgabe angehen?

Bestimme die Zielfunktion die mehrere Variable enthält. Sie wird auch Hauptbedingung genannt. Wichtig ist die klare Unterscheidung zwischen "echten" Variablen und Formvariablen.
Lege die Definitionsbereiche für die Variablen fest.
Bestimme die Nebenbedingung.
Nebenbedingungen können durch Formeln, Lehrsatz des Pythagoras, Strahlensatz, Funktionen, durch Zeichnung etc. gegeben sein.
Berechne aus der/den Nebenbedingung(en) eine Variable als Funktion der anderen und setze diese in die Zielfunktion ein, um dort nur eine Variablen zu erhalten.
x = f(y) oder y = f(x) => Z(x,y) -->Z(x) oder Z(y)

Kann man bei der Zielfunktion einen konstanten Faktor ausklammern, so kann dieser beim Weiterrechnen weggelassen werden. (f(x) und a*f(x) habe an der selben Stelle einen Extremwert)
Bilde die 1. Ableitung der Zielfunktion, setze sie 0 und ermittle somit die Extremwerte. Überprüfe mittels 2. Ableitung die Art des Extremwertes!
Überprüfe, ob die Extremwerte im vorgesehenen Definitionsbereich liegen.
Antwort.

edit von sulo: Habe sämtliche mimetex-Klammern durch Latex-Klammern ersetzt, da die mimetex-Formeln nicht kopiert werden können.

Neue Frage »

Antworten »

Beispielsammlung Extremwertaufgaben

Verwandte Themen